Выведите расчетную формулу для момента инерции

Рассмотрим маховик (рис.7), состоящий из диска, шкива и вала. Предположим, что они обладают общей массой М. Диск и шкив насажены на общий вал, закрепленный в подшипниках. Маховик может вращаться относительно оси z, совпадающей с осью вала (на рис. 7 ось z перпендикулярна плоскости чертежа и направлена «от нас»).

Схема системы маховик-груз (вал на схеме не показан)

Вращение маховика осуществляется под действием груза массой m₁, укрепленного на нити, намотанной на шкив, и описывается относительно неподвижной оси z уравнением:

,

где — момент инерции маховика,–его угловое ускорение, – сумма моментов сил, действующих на маховик.включает момент силы натяжения нитиМ(Т₂) и момент силы трения М(F_тр) в подшипниках вала. Моменты сил N и Мg относительно оси z равны нулю. Таким образом,

.

Поступательное движение груза массой m₁ описывается вторым законом Ньютона:

,

где а — ускорение центра масс груза, Т₁ – сила натяжения нити, приложенной к грузу. В проекции на ось у уравнение (22) принимает вид:

Так как предполагается, что нить нерастяжима и невесома, то ускорение всех точек нити и груза одинаковы, причем в отсутствии проскальзывания нити линейное (тангенциальное) ускорение обода диска равно ускорению груза. Силы натяжения нити Т₁ и Т₂ равны между собой (Т₁ = Т₂ = Т).

Предположим, что груз в процессе движения всей системы опускается до некоторого нулевого уровня с высоты h₁. Тогда с учетом, что

,

где  — время движения груза, а

;

.

Из уравнения (21), находим

.

Силу натяжения Т выражаем из уравнения (23), а угловое ускорение  – из (26). Затем полученные формулы для Т и  подставляем в (27). В итоге получаем,

.

Для расчета нужно знать все величины, входящие в формулу (28). Они определяются экспериментально:– с помощью штангенциркуля,– с помощью линейки, – с помощью секундомера. Масса груза m₁ изначально задана. Момент силы трения определяется экспериментальным путем путем.

Пусть I – момент инерции маятника Обербека без грузов. Из (26) следует, что

В условиях эксперимента mR 2 2 до пересечения с осью абсцисс, то есть до точки m на этой оси, для которой выполняется равенство , то это позволяет определитьМ_СОПР как

Для определения момента инерции маятника I воспользуемся формулой (28), где величина М_СОПР предварительно определена из измерений ε(m) и формулы (30). Подставив выражение ε из (26) и М_СОПР из (30) в (28), получаем рабочую формулу для определения момента инерции маятника

Для используемого в работе маятника Обербека справедливо неравенство Учитывая это, получаем:

Для расчетов удобно представить момент инерции в виде:

где

Таким образом, для определения момента инерции маятника необходимо измерить время t опускания груза массой m на расстояние x .

Зависимость момента инерции маятника от расстояния грузов до оси вращения предполагается проверить, используя результаты, полученные по формуле (32). Значение т можно взять из данных эксперимента для определения момента инерции маятника Обербека без грузов, считая, что момент сил сопротивления остается постоянным.

2 экстраполировать — статистические данные или результаты серии экспериментов. Отмечаем их в виде точек на графике, как значения от какого-то аргумента. Если теперь попытаться вычислить такую функцию, которая бы описывала этот график, это мы будем апроксимировать его. Функция может точно через эти точки не пройти, потому что всегда есть погрешности. Если мы будем вычислять точное значение ещё не отмеченной точки (например, при данном аргументе измерение не проводилось) по уже имеющимся — это мы интерполируем (от латинского "интер" — между). А если мы примемся расширять область аргумента — вот это и будет экстраполяция (от латинского "экстра" — вне).

Лабораторная работа № 10

Определение момента инерции маховика

Экспериментальное определение момента инерции системы*, состоящей из массивного маховика, двух шкивов, насаженных на общий вал.

Теоретические основы работы

В механике под твердым телом, или абсолютно твердым телом, понимают неизменную систему материальных точек, т. е. такую абстрактную (идеализированную) систему, при любых движениях которой взаимные расстояния между материальными точками остаются неизменными, постоянными.

Любое сложное движение твердого тела можно представить как совокупность простых движений: поступательного и вращательного.

При поступательном движении все точки твердого тела совершают одинаковые перемещения, т. е. в этом случае любая прямая, проведенная в твердом теле, остается при движении параллельной самой себе.

Мерой инертности (инерции)** твердого тела при поступательном движении является масса тела.

При вращательном движении твердого тела как вокруг неподвижной оси, так и вокруг точки, инертные свойства тела определяются моментом инерции.

Следует подчеркнуть, что тело имеет момент инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или покоится по аналогии с тем, что любое тело имеет массу независимо от того, движется оно или находится в покое.

В механике различают осевые и центробежные моменты инерции твердого тела, но в курсе общей физики изучается только момент инерции твердого тела относительно оси, что является целью данной лабораторной работы.

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен сумме произведений элементарных масс тела на квадраты их расстояний до этой оси, т. е.

. (1)

В системе «СИ» момент инерции имеет размерность (кг×м2).

*Так как масса (и размеры) массивного маховика значительно больше суммарной массы шкивов и вала, то фразу «момент инерции системы» следует понимать буквально как момент инерции маховика.

**Свойство тела оказывать сопротивление при попытках вывести его из состояния покоя или изменить его скорость (по модулю или направлению), называется инертностью.

Момент инерции относительно данной оси зависит не только от величины массы тела, но и от распределения масс относительно оси. Изменения расстояний частиц тела относительно оси приводят к различным значениям момента инерции тела относительно этой же оси.

Момент инерции твердого тела, как и масса тела, является величиной аддитивной.

Суммирование в формуле (1) может быть заменено интегрированием:

, (2)

где — плотность тела в точке, в которой взят элементарный объем dV;

r — расстояние объема dV от оси вращения.

Если твердое тело однородно, т. е. во всех его точках плотность r = const, то выражение (2) принимает вид:

. (3)

Вычисление момента инерции реальных твердых тел (произвольной конфигурации) по формулам (2, 3) представляет собой весьма сложную проблему, и на практике моменты инерции этих тел определяют экспериментальным путем.

Что касается однородных осесимметричных тел (цилиндра, конуса, шара и т. д.), то вычисление интеграла (3) значительно упрощается.

Учитывая, что в предлагаемой лабораторной работе вал, маховик, шкивы представляют собой цилиндры (диски), то приведем пример вычисления момента инерции однородного цилиндра (диска) относительно его оси симметрии (геометрической оси) ОО1 (рис. 30).

Мысленно разобьем цилиндр (диск) радиуса R и высотой h на концентрические слои толщиной dr, радиус которого равен r.

Масса вещества, заключенного в этом слое, равна

, (4)

где — плотность вещества цилиндра.

Момент инерции этого слоя относительно оси вращения ОО1 равен

. (5)

Согласно (2) или (3) момент инерции всего цилиндра (диска) относительно оси ОО1 равен

. (6)

Учитывая, что масса всего цилиндра (диска)

,

выражение (6) принимает окончательный вид:

(7)

Итак, момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси симметрии равен его массе, умноженной на половину квадрата его радиуса.

Существует ряд методов (метод вращения и метод колебаний) экспериментального определения момента инерции твердого тела произвольной формы или системы, состоящей из нескольких тел, относительно оси вращения.

В данной лабораторной работе предлагается экспериментальное определение момента инерции системы, состоящей из однородных цилиндров (дисков) методом вращения.

Описание экспериментальной установки

На рис. 31 схематически показана лабораторная установка, с помощью которой исследуются закономерности поступательного и вращательного движения тел, необходимые для вычисления момента инерции системы.

Маховик 1 насажен на вал 2, который закреплен в шарикоподшипниках 3, 4, что обеспечивает вращение системы вокруг горизонтальной оси. На этом валу закреплены два шкива большего 5 и меньшего 6 диаметров. Диаметры шкивов измеряются штангенциркулем. На ободе каждого шкива имеется штырь для крепления нити с грузом.

На один из шкивов наматывается невесомая и нерастяжимая нить, к свободному концу которой прикрепляется груз 7 массой m. Положение груза относительно пола, т. е. высота h, измеряется длинной линейкой с миллиметровыми делениями.

Измерение времени движения груза 7 до пола осуществляется секундомером.

Для вывода расчетной формулы момента инерции системы могут быть использованы динамический или энергетический подходы. В данном случае предлагается вывод, основанный на законе сохранения и превращения механической энергии.

Пусть груз массой m (рис. 31) находится в покое на высоте h над горизонтальной поверхностью (на высоте h от пола).

Из кинематики равноускоренного движения материальной точки имеем:

и .

Исключая из последних выражений ускорение a, выразим скорость груза v непосредственно перед ударом его о пол:

, (8)

где t — время движения груза с высоты h.

В отсутствие проскальзывания нити можно использовать известную связь между модулями линейной и угловой скоростей:

, (9)

где r — радиус шкива, на который намотана нить с грузом;

u — линейная скорость точек на ободе этого шкива.

Из (8) и (9) получаем выражение для угловой скорости* (шкива, маховика, всей системы) в момент времени t касания груза массой m о пол:

. (10)

При расчете момента инерции системы необходимо учитывать влияние силы трения в подшипниках крепления вала.

В начальный момент система находится в покое, и груз массой m расположен на высоте h от пола. Следовательно, перед началом движения система обладает энергией, равной потенциальной энергии груза, т. е.

. (11)

Если систему предоставить самой себе, то груз массой m будет равноускоренно опускаться, а маховик со шкивами приходить во вращательное движение.

В момент касания грузом пола потенциальная энергия груза переходит в суммарную кинетическую энергию системы и в работу против силы трения в подшипниках:

, (12)

где — кинетическая энергия груза к моменту достижения пола;

— кинетическая энергия вращательного движения маховика со шкивами к моменту достижения пола грузом;

— работа силы трения за n1 оборотов (число оборотов маховика от начала движения груза с высоты h до пола).

Уравнение (12) можно представить в виде:

. (13)

*Напомним, что любая точка твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеет одну и ту же угловую скорость.

**При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w i — ая частица тела, отстоящая от оси вращения на расстояние ri, обладает линейной скоростью
ui = wri (см. формулу (9)). Значит, кинетическая энергия этой частицы равна:

Екi =mi×ui2/2 = w2×mi×ri2.

Суммируя последнее выражение, получим кинетическую энергию всего тела:

Ек = åЕкi = w2×åmi×ri2/2.

С учетом (1) получим формулу кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: Еквр. = Iw2/2.

После падения груза на пол и соскальзывания нити со шкива маховик продолжает вращаться до полной остановки. Это означает, что кинетическая энергия вращающегося маховика полностью перешла в работу силы трения, т. е.

, . (14)

где — работа силы трения за n2 оборотов, т. е. до полной остановки маховика.

Работа силы трения (13) и (14), как неконсервативной (или диссипативной) силы, как правило, отрицательна и в условиях данного эксперимента пропорциональна числу оборотов, совершенных маховиком на первом и втором этапах:

, , (15)

где k — положительный коэффициент, имеющий одно и то же значение в обоих случаях, и который можно представить с учетом (14) в следующем виде:

, . (16)

Тогда (15) с учетом (16) определяется следующим выражением:

. (17)

Уравнение (13) с учетом (17) принимает вид:

.

Преобразуя последнее равенство, получим с учетом (9) и (10) формулу расчета момента инерции системы:

,

которую можно упростить, учитывая, что >>2h и радиус шкива .

Итак, расчетная формула момента инерции системы принимает окончательный вид:

, (18)

где d — диаметр шкива.

1. Штангенциркулем измерьте не менее 5 раз диаметр (d) большего шкива 5 (рис.31) и результаты измерений занесите в табл.1. В этой же таблице запишите приборную ошибку измерения диаметра, т. е. Ddпр.

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.