Вычитание комплексных чисел в тригонометрической форме

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ mathbb $.

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = sqrt <-1>$, числа $ a,b in mathbb $ вещественные.

Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ mathbb subset mathbb $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im (z) = b $, а действительную $ Re (z) = a $.

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ overline = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

  1. Алгебраическая $ z = a+ib $
  2. Показательная $ z = |z|e^ $
  3. Тригонометрическая $ z = |z|cdot (cos (varphi)+isin (varphi)) $

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Видим, что $ a,b in mathbb $ расположены на соответствующих осях плоскости.

Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ overline $.

Аргумент обозначается $ varphi $.

Модуль $ |z| $ равняется длине вектора $ overline $ и находится по формуле $ |z| = sqrt $

Аргумент комплексного числа $ varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

$$ z_1 + z_2 = (3+i) + (5-2i) = (3+5)+(i-2i) = 8 — i $$

Аналогично выполним вычитание чисел:

$$ z_1 — z_2 = (3+i) — (5-2i) = (3-5)+(i+2i) = -2 + 3i $$

Пример 2
Решение
Ответ
$$ z_1 + z_2 = 8 — i; z_1 — z_2 = -2 + 3i $$

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

$$ z_1 cdot z_2 = (3+i) cdot (5-2i) = $$

Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что $ i^2 = -1 $:

$$ = 15 — 6i + 5i -2i^2 = 15 — i — 2cdot (-1) = $$

$$ = 15 — i + 2 = 17 — i $$

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Пример 3
Решение
Ответ
$$ z_1 cdot z_2 = 17 — i; frac = frac<13> <29>+ frac<11><29>i $$
Читайте также:  Восстановленные айфоны из китая

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

$$ z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i) cdot (3+3i) = $$

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

$$ =9 + 9i + 3icdot 3 + 9i^2 = 9 + 18i — 9 = 18i $$

Получили ответ, что $$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ varphi = arctg frac<3> <3>= arctg (1) = frac<pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Возводим в степень $ n = 7 $:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

$$ = 3^7 sqrt<2>^6 (1-i) = 3^7 cdot 8 (1-i) = $$

$$ = 2187 cdot 8 (1-i) = 17496 (1-i) $$

$$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$ $$ z^7 = 17496 (1-i) $$

Пример 4
Возвести комплексное число $ z = 3+3i $ в степень: a) $ n=2 $ б) $ n=7 $
Решение
Ответ

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

$$ varphi = arctg frac<0> <-1>+pi = arctg 0 + pi = pi $$

Получаем: $$ z = (cos pi + isin pi) $$

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $:

Пример 5
Извлечь корень $ sqrt[3] <-1>$ над множеством $ mathbb $
Решение
Ответ

Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4cdot 1 cdot 2 = 4-8 = -4 $$

Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Формулы. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа.

Комплексные числа — это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или мнимая единица.

Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой:

Таким образом видно, что множество действительных чисел совпадает с множеством комплексных чисел с нулевой мнимой частью.

Самая популярная модель множества комплексных чисел — это обычная плоскость. Первая координата каждой точки будет её вещественной частью, а вторая -мнимой. Тогда в роли самих комплексных чисел бдут выступать вектора с началом в точке (0,0).

Операции над комплексными числами.

На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.

(Как видно, данная операции в точности соответствует покоординатному сложению векторов)

1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:

.

Определяется просто как обратная операция к умножению.

Тригонометрическая форма.

Модулем комплексного числа z называется следующая величина:

,

очевидно, что это, опять же, просто модуль (длина) вектора .

Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ρ.

Если представлять каждое комплексное число a+bi как вектор началом в точке (0,0) и концом в точке (a,b), то можно ввести еще одно понятие — угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси х, то есть "правый" угол, который получается с осью х. (см. рисунок справа).

Величина этого ула в радианах называется аргументом комплексного числа и обозначается : arg z.

Пример 6
Решить квадратное уравнение $ x^2 + 2x + 2 = 0 $ над $ mathbb $
Решение
Читайте также:  В каком сезоне тед встретит маму

z = ρ(cosφ+isinφ) .

Непосредственно из тригонометрической формы записи комплексного числа вытекают следующие формулы:

Последнюю формулу называют Формулой Муавра. Непосредственно из нее выводится формула корня n-ной степени из комплексного числа:

таким образом, существует n корней n-ной степени из комплексного числа z.

Сложение и умножение комплексных чисел

Комплексное число a можно задать парой действительных чисел (его координатами) . Два комплексных числа a и равны тогда и только тогда, когда и .

В чём геометрический смысл сложения комплексных чисел? На плоскости, где каждое комплексное число отображено как вектор, идущий от начала коодинат до точки , сложение комплексных чисел сводится к сложению соответствующих векторов по правилу параллелограмма (рисунок перед примером).

Поэтому сложение двух комплексных чисел a и b в координатной форме может быть представлено следующей формулой:

.

Вычитание же комплексного числа из комплексного числа может быть представлено формулой .

А для того, чтобы произвести алгебраические операции сложения и вычитания комплексных чисел, следует использовать следующие формулы:

.

.

То есть, при сложении комплексных чисел складываются отдельно их действительные части и отдельно их мнимые части. Аналогичное правило действует и для вычитания.

При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, получено следующее правило: модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, то есть аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей. В свою очередь модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, делённому на модуль делителя, то есть аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя из аргумента делимого.

Из этого легко понять геометрический смысл умножения и деления комплексных чисел. При умножении получается точка, изображающая произведение числа на число , если вектор, идущий от к , повернём против часовой стрелки на угол , являющийся аргументом числа , а затем растянем этот вектор в раз. При делении это будет сжатием, а не растяжением.

Всё описанное выше проиллюстрировано на рисунке ниже.

При умножении двух комплексных чисел получается выражение

Пример 1. Сложить и умножить комплексные числа и .

Решение. Для сложения чисел производим следующие вычисления:

Пример 2. Сложить и умножить комплексные числа и .

Решение. Для сложения чисел производим следующие вычисления:

Пример 3. Выполнить операцию сложения комплексных чисел и .

Решение. Применяем формулу сложения, не путаем знаки перед мнимой частью второго числа и получаем:

Пример 4. Выполнить операцию вычитания из комплексного числа комплексного числа .

Решение. Применяем формулу вычитания и, опять же, не путаясь в знаках, получаем:

Пример 5. Выполнить операцию умножения комплексных чисел и .

Решение. Применяем формулу для умножения и получаем:

Наверное, многие уже почувствовали, что сложение и умножение комплексных чисел — действия достаточно простые. Главное — не запутаться в знаках — правильно переносить их из формулы и соблюдать знаки самих частей комплексных чисел. И это действительно так, но на практике попадаются задания посложнее, где действия с комплексными числами соединяются с другими действиями, известными в математике. Таковы, например, уравнения и системы уравнений с комплексными числами.

Пример 6. Найти x и y, считая их вещественными, в уравнении

.

Решение. Подвоха нет: умножение на икс и игрек — это именно умножение по всем правилам алгебры. Раскрываем скобки:

.

Теперь нужно привести левую часть полученного выражения к алгебраической форме комплексного числа, записываем отдельно действительную и мнимую части:

Читайте также:  Вычислить тройной интеграл по области ограниченной поверхностями

.

Решаем отдельно уравнение для действительной части и для мнимой части. То есть записываем систему уравнений:

Второе уравнение сокращаем на i — мнимую единицу, система приобретает вид

Из первого уравнения выражаем икс и подставляем во второго уравнение:

Находим икс и игрек — получаем решение задачи:

Далее — несколько более сложный пример на умножение комплексных чисел. Сложность в том, что нужно выполнять целую цепочку умножений, в которой к тому же действительная часть разбита на константу (то есть число) и переменную — икс. Тяжело в учении, легко в бою.

Пример 7. Проверить тождество:

.

Решение. Обозначим, какие умножения в какой очерёдности выполняем:

.

Находим произведение I. По всем правилам умножения комплексных чисел. Помним, что икс — это составная действительной части комплексного числа:

По тем же правилам находим произведение II:

Так же, не открывая никаких новых правил, а просто последовательно применяя правила умножения комплексных чисел, находим произведение III:

Как видим, тождество доказано.

Для комплексных чисел понятия "больше" и "меньше" не могут быть разумно определены, так как эти числа, в отличие от действительных чисел, располагаются не на прямой линии, точки которой естественным образом упорядочены, а на плоскости. Поэтому сами комплексные числа (но не их модули!) никогда нельзя соединять знаком неравенства.

Сопряженные числа и их свойства

Пусть — комплексное число. Число , отличающееся от числа a лишь знаком при мнимой части, называется числом, сопряжённым с a .

Свойства сопряжённых чисел

1) (число, сопряжённое сопряжённому числу, равно данному числу);

2) если a и b — комплексные числа, то и (число, сопряжённое с суммой двух чисел, равно сумме чисел, сопряжённых со слагаемыми и число, сопряжённое с произведением, равно произведению чисел, сопряжённых с сомножителями).

3) если , то и — положительное действительное число, равное нулю тогда и только тогда, когда , т. е. когда и .

Пример 8. Даны комплексные числа и . Убедиться в справедливости свойств сопряжённых чисел.

Решение. Сопряжёнными данным комплексным числам являются числа и . Сумма данных комплексных чисел:

,

.

,

Таким образом, справедливость свойств сопряжённых чисел доказана.

Деление комплексных чисел

Как и при любом делении в алгебре, комплексное число нельзя делить на нуль и на комплексное число + i0 .

При делении комплексного числа на действительное число на это число нужно разделить и действительную, и мнимую компоненты. При делении комплексного числа на комплексное число нужно делимое и делитель умножить на число, сопряжённое делителю.

Пример 9. Разделить комплексное число на комплексное число .

Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби на , получаем:

Автор проекта был свидетелем вопроса о том, откуда взялось 5 в знаменателе дроби. Пояснения вызывают реакцию "А слона-то я и не заметил!". Пояснения следующие: не забываем, что мы имеем дело с комплексными числами и знаем, что i — это не какая-нибудь переменная, а корень из минус единицы. Таким образом,

Пример 10. Разделить комплексное число на комплексное число .

Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби на , получаем:

Если всё же возникает вопрос, откуда в знаменателе дроби 10, смотрите пояснения в конце предыдущего примера.

Решить задачи на комплексные числа самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 11. Вычислить выражение с комплексными числами .

Пример 12. Вычислить выражение с комплексными числами .

Пример 13. Определить, при каких действительных значениях x и y верно равенство с комплексными числами .

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector