Напомним определение многочлена от матрицы. Пусть заданы многочлен (степени [math]m[/math] ) переменной [math]lambda:[/math]
где [math]A[/math] — квадратная матрица n-го порядка. Выражение вида
называется многочленом от матрицы [math]A[/math] .
При больших значениях [math]m[/math] и [math]n[/math] вычисление выражения (7.41) затруднительно из-за операции возведения матрицы в натуральную степень. Поэтому требуется найти другие, эквивалентные определению (7.41), формы записи и алгоритмы эффективного вычисления многочлена от матрицы. Для упрощения (7.41) имеются две возможности. Во-первых, можно упростить матрицу [math]A[/math] так, чтобы многочлен (7.40) от упрощенной матрицы уже вычислялся сравнительно просто. Например, выражение (7.41) легко вычисляется, если матрица [math]A[/math] диагональная. Во-вторых, можно понизить степень [math]m[/math] многочлена, тогда самая трудоемкая операция — возведение матрицы в степень — упрощается.
Использование жордановой формы для нахождения многочлена от матрицы
Использование жордановой формы матрицы для нахождения многочлена от матрицы основано на трех свойствах.
1. Многочлены от подобных матриц подобны.
Действительно, пусть при помощи преобразования подобия матрица [math]A[/math] приведена к жордановой форме [math]J_A=S^<-1>AS[/math] . Подставим [math]A=SJ_AS^<-1>[/math] в правую часть (7.41):
Учитывая, что [math](SJ_AS^<-1>)^k= underbracecdot SJ_AS^ <-1>cdotldotscdot SJ_AS^<-1>>_
Таким образом, многочлены [math]f(A)[/math] и [math]f(J_A)[/math] подобны (с той же самой преобразующей матрицей [math]S[/math] ):
2. Многочлен от блочно-диагоналъной матрицы является блочно-диагоналъной матрицей.
Пусть [math]A=egin
Поэтому [math]f(A)=egin
3. Многочлен (7.41) от жордановой клетки [math]J_r(lambda_0)[/math] имеет вид
Это верхняя треугольная матрица r-го порядка, на главной диагонали которой стоят значения функции [math]f(lambda)[/math] в точке [math]lambda_0[/math] , над диагональю — значения первой производной в этой же точке и т.д., т.е. коэффициенты ряда Тейлора для функции [math]f(lambda)[/math] .
Действительно, разложим многочлен (7.40) по формуле Тейлора в окрестности точки [math]lambda=lambda_0:[/math]
Остаточный член в данном случае равен нулю, так как все производные более высокого порядка, чем [math]m[/math] , тождественно равны нулю. При вычислении [math]f(J_r(lambda_0))[/math] линейный двучлен [math](lambda-lambda_0)[/math] заменяется матрицей
у которой элементы над главной диагональю равны единице, а остальные элементы равны нулю, т.е. [math]I=egin
Можно показать, что при возведении в степень единичные элементы матрицы [math]I[/math] смещаются вверх:
причем [math]I^k[/math] — нулевая матрица при [math]kgeqslant r[/math] . Подставляя эти матрицы в формулу Тейлора, получаем
Складывая матрицы в правой части, получаем квадратную матрицу r-го порядка, у которой элементы главной диагонали равны [math]f(lambda_0)[/math] , элементы над главной диагональю равны — [math]frac<1><1!>,f'(lambda_0)[/math] и т.д., т.е. матрицу вида (7.42).
Пример 7.16. Найти многочлен [math]f(lambda)= lambda^2+ lambda+1[/math] от матриц
Решение. а) Матрица [math]A[/math] — это жорданова клетка 3-го порядка, соответствующая собственному значению 2: [math]A=J_3(2)[/math] . Находим значения функции и ее производных в точке [math]lambda=2:[/math] [math]f(2)=7,[/math] [math]f'(2)=5,[/math] [math]f»(2)=2[/math] . Составляем матрицу вида (7.42), учитывая, что [math]r=3:[/math]
Матрица [math]B[/math] имеет жорданову форму [math]B=operatorname
Здесь число 7 рассматривается как квадратная матрица 1-го порядка. Составляем из этих квадратных матриц искомую блочно-диагональную матрицу
Матрица [math]C[/math] имеет жорданову форму [math]C=operatorname
Составляем из этих квадратных матриц искомую блочно-диагональную матрицу
Первый способ нахождения многочлена от матрицы
1. Привести матрицу [math]A[/math] к жордановой форме [math]J_A=S^<-1>AS[/math] , т.е. определить жорданову форму [math]J_A[/math] и преобразующую матрицу [math]S[/math] .
2. Составить блочно-диагональную матрицу [math]f(J_A)[/math] , размещая на ее диагонали многочлены от жордановых клеток (7.42).
3. Найти многочлен от матрицы А по формуле [math]f(A)=Scdot f(J_A)cdot S^<-1>[/math] .
Пример 7.17. Найти многочлен [math]f(lambda)=lambda^m[/math] (при 1">[math]m>1[/math] ) от матриц:
Решение. Матрица [math]A[/math] . 1. Жорданова форма [math]J_A[/math] и преобразующая матрица [math]S[/math] были найдены в примере 7.15:
2. Жорданова форма [math]J_A[/math] состоит из одной жордановой клетки [math]J_A=J_2(2)[/math] 2-го порядка, соответствующей собственному значению [math]lambda=2[/math] . Найдем значения функции [math]f(lambda)=lambda^m[/math] и ее производной [math]f'(lambda)=m lambda^[/math] при [math]lambda=2:[/math] [math]f(2)=2^m,[/math] [math]f'(2)=m2^[/math] . Запишем многочлен от жордановой формы (блочно-диагональную матрицу с одним блоком): [math]f(J_A)= egin
3. Найдем многочлен от матрицы [math]A:[/math]
Матрица В. 1. Жорданова форма [math]J_B[/math] и преобразующая матрица [math]S[/math] были найдены в примере 7.15:
2. Жорданова форма [math]J_B[/math] состоит из одной жордановой клетки [math]J_B=J_3(1)[/math] 3-го порядка, соответствующей собственному значению [math]lambda=1[/math] . Найдем значения функции [math]f(lambda)[/math] и ее производных [math]f'(lambda),,f»(lambda)[/math] при [math]lambda=1:[/math] [math]f(1)=1,[/math] [math]f'(1)=m,[/math] [math]f»(1)=m(m-1)[/math] . Запишем многочлен от жордановой формы [math](r=3)colon[/math]
3. Найдем многочлен от матрицы [math]B:[/math]
Матрица [math]C[/math] . 1. Жорданова форма [math]J_C[/math] и преобразующая матрица [math]S[/math] были найдены в примере 7.15:
2. Жорданова форма [math]J_C[/math] состоит из трех жордановых клеток 1-го порядка [math]J_C= operatorname
3. Найдем многочлен от матрицы [math]C:[/math]
Результат совпадает с найденным в примерах 7.10, 7.12.
Матрица [math]D[/math] . 1. Жорданова форма [math]J_D[/math] и преобразующая матрица [math]S[/math] были найдены в примере 7.15:
2. Жорданова форма [math]J_D[/math] состоит из двух жордановых клеток 2-го и 1-го порядков [math]J_D=operatorname
3. Найдем многочлен от матрицы [math]D:[/math]
Использование аннулирующих многочленов
Для понижения степени многочлена (7.41) можно использовать аннулирующие многочлены матрицы [math]A[/math] , например, ее характеристический [math]Delta_A(lambda)=det(A-lambda E)[/math] или минимальный [math]mu_A(lambda)[/math] многочлены.
Обозначим через [math]
u[/math] степень минимального многочлена
Заметим, что [math]
u[/math] не превосходит порядка [math]n[/math] матрицы [math]A[/math] (или, что то же самое, степени [math]n[/math] характеристического многочлена [math]Delta_A(lambda)[/math] ), т.е. [math]
u=m_1+ldots+m_kleqslant n[/math] . Разделим заданный многочлен (7.40) на минимальный:
Здесь [math]q(lambda)[/math] — частное, а [math]r(lambda)[/math] — остаток, степень которого меньше [math]
u:[/math]
Подставив в (7.43) вместо переменной [math]lambda[/math] матрицу [math]A[/math] , получим:
поскольку минимальный многочлен является аннулирующим [math](mu_A(lambda)=O)[/math] .
Таким образом, вместо вычисления многочлена (7.41) степени [math]m[/math] можно вычислить многочлен (7.44), степень которого меньше [math]
u[/math] . Коэффициенты [math]r_0,r_1,ldots,r_<
u-1>[/math] многочлена (7.44) находятся следующим образом.
Если все корни минимального многочлена простые, то, подставляя корень [math]lambda_j[/math] в (7.43), получаем [math]f(lambda_j)=r(lambda_j)[/math] , так как [math]mu_A(lambda_j)=0[/math] , т.е.
Если [math]lambda_j[/math] — корень минимального многочлена кратности [math]m_j[/math] , учитывая, что
из (7.43), последовательно дифференцируя, получаем
Записывая равенства (7.46) для каждого корня минимального многочлена, получим совместную систему [math]
u[/math] линейных уравнений с [math]
u[/math] неизвестными [math]r_0,r_1,ldots,r_<
u-1>[/math] .
Второй способ нахождения многочлена от матрицы
1. Найти минимальный многочлен [math]mu_A(lambda)[/math] матрицы [math]A[/math] одним из способов, рассмотренных в разд.7.2.4. Определить его степень [math]mu[/math] и записать многочлен (7.44) с неопределенными коэффициентами [math]r_0,r_1,ldots,r_<
u-1>:[/math]
2. Для каждого корня [math]lambda_j[/math] (кратности [math]m_j[/math] ) минимального многочлена по формулам (7.46) составить [math]m_j[/math] уравнений. Все уравнения объединить в одну систему.
3. Решить составленную систему, т.е. найти коэффициенты [math]r_0,r_1,ldots,r_<
u-1>[/math] многочлена [math]r(lambda)[/math] .
4. По формуле (7.45) найти многочлен от матрицы:
1. Вместо минимального многочлена можно использовать характеристический многочлен матрицы, который также является аннулирующим (см. теорему Гамильтона-Кэли). При этом в пунктах 1,2 алгоритма минимальный многочлен заменяется характеристическим, степень которого равна [math]n[/math] .
2. В первом способе нахождения многочлена от матрицы используются все инвариантные множители, так как нужно получить жорданову форму. Во втором способе требуется только один последний инвариантный множитель, который совпадает с минимальным многочленом. Можно сказать, что жорданова форма матрицы излишне информативна для решения поставленной задачи.
Пример 7.18. Найти (вторым способом) многочлен [math]f(lambda)= lambda^m[/math] (при 1">[math]m>1[/math] ) от матриц:
Решение. Матрица [math]A[/math] . 1. Для матрицы [math]A[/math] в примере 7.15 были найдены инвариантные множители. Минимальный многочлен совпадает с последним инвариантным множителем. Поэтому [math]mu_A(lambda)=e_2(lambda)=(lambda-2)^2[/math] . Степень [math]
u[/math] минимального многочлена равна двум. Значит, многочлен (7.44) линейный: [math]r(lambda)=r_1 lambda+r_0[/math] .
2. Для двойного корня [math]lambda=lambda_1=2
(m_1=2)[/math] составляем уравнения (7.46):
3. Решая систему, получаем [math]r_1=m2^,
r_0=(1-m)2^m[/math] и [math]r(lambda)=m2^cdot lambda+(1-m)2^m[/math] .
4. Находим многочлен от матрицы [math]A:[/math]
Матрица [math]B[/math] . 1. Инвариантные множители характеристической матрицы [math](B-lambda E)[/math] найдены в примере 7.15. Минимальный многочлен равен последнему инвариантному множителю: [math]mu_B(lambda)=e_3(lambda)=(lambda-1)^3[/math] . Степень [math]
u[/math] минимального многочлена равна 3. Значит, многочлен (7.44) — это квадратный трехчлен: [math]r(lambda)=r_2 lambda^2+r_1 lambda+r_0[/math] .
2. Для тройного корня [math]lambda=lambda_1=1
(m_1=3)[/math] составляем уравнения (7.46):
3. Решая систему, получаем [math]r_2=frac<2>,
4. Вычисляя [math]B^2=egin
Матрица [math]C[/math] . 1. Минимальный многочлен найден в примере7.15: [math]mu_C(lambda)=lambda(lambda-3)[/math] . Степень [math]
u[/math] многочлена равна 2. Следовательно, многочлен (7.44) имеет первую степень: [math]r(lambda)=r_1 lambda+r_0[/math] .
2. Для каждого простого корня [math]lambda=lambda_0=0[/math] и [math]lambda= lambda_2=3[/math] записываем пер вое равенство из (7.46):
3. Решая систему, получаем [math]r_1=3^,
r_0=0[/math] и [math]r(lambda)=3^lambda[/math] .
4. Находим многочлен от матрицы [math]C:[/math]
Найдем [math]f(C)[/math] , используя характеристический многочлен вместо минимального. Согласно пункту 1 замечаний 7.8, выполняем все действия второго способа, заменяя минимальный многочлен характеристическим.
1. Найдем характеристический многочлен матрицы [math]C[/math] (см. при мер 7.11): [math]Delta_C(lambda)=lambda^2(3-lambda)[/math] . Это многочлен 3-й степени. Поэтому многочлен (7.44) будет 2-ой степени: [math]r(lambda)=r_2 lambda^2+r_1 lambda+r_0[/math] .
2. Для двойного корня [math]lambda=0[/math] записываем два уравнения из (7.46), а для простого корня [math]lambda=3[/math] одно:
3. Решая систему, получаем [math]r_2=3^,
r_1=r_0=0[/math] и [math]r(lambda)=3^lambda^2[/math] .
4. Вычисляя [math]C^2=egin
Поскольку степень характеристического многочлена больше степени минимального многочлена 2)">[math](3>2)[/math] , его применение менее эффективно.
Матрица [math]D[/math] . 1. Инвариантные множители характеристической матрицы [math](D-lambda E)[/math] найдены в примере 7.15. Минимальный многочлен равен последнему инвариантному множителю: [math]mu_D(lambda)=e_3(lambda)=lambda^2(lambda-3)[/math] . Степень [math]
u[/math] минимального многочлена равна 3. Значит, многочлен (7.44) — это квадратный трехчлен: [math]r(lambda)=r_2 lambda^2+r_1 lambda+r_0[/math] .
2. Для двойного корня [math]lambda=lambda_1=0
(m_1=2)[/math] записываем первые два равенства (7.46), а для простого корня [math]lambda=lambda_2=3[/math] [math](m_2=1)[/math] — первое равенство из (7.46). Получаем систему трех уравнений относительно коэффициентов квадратного трехчлена [math]r(lambda):[/math]
3. Решая систему, получаем [math]r_2=3^,
r_1=r_0=0[/math] и [math]r(lambda)=3^lambda^2[/math] .
4. Находим многочлен от матрицы [math]D:[/math]
Эта формула справедлива при 1">[math]m>1[/math] , так как при [math]m=1[/math] или [math]m=0[/math] в системе для нахождения коэффициентов многочлена [math]r(lambda)[/math] появляются неопределенные выражения [math](0^0)[/math] . Впрочем, для этих показателей степени [math](m=1,
m=0)[/math] многочлен [math]f(D)[/math] легко находится по определению [math]D^1=D,
Все результаты совпадают с полученными в примере 7.17.
Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №2
Задача 1. Даны многочлен f(x) и матрица А:
Требуется найти значение матричного многочлена f (A).
Задача 2. Дана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:
1) записать систему в матричном виде;
2) найти решение системы с помощью формул Крамера;
3) решить систему при помощи обратной матрицы.
Задача 3. Даны координаты трех векторов: и вектор :
вычислить модуль вектора ;
найти координаты вектора ;
найти угол φ между векторами и ;
вычислить проекцию вектора на направление вектора ;
вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и ;
вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах .
Задача 4. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD:
1) вычислить длину ребра AB;
2) найти уравнение плоскости грани ABC;
3) найти угол между гранями ABC и BCD;
4) составить параметрические уравнения прямой AB;
5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;
6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;
7) найти угол между ребрами AB и BC;
8) найти угол между ребром AD и гранью ABC;
9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.
Решение задачи 1.
Записываем матричный многочлен: Здесь Е – единичная матрица той же размерности, что и А, т.е. 3-го порядка.
Найдем матрицу A2. При умножении матрицы A на себя используем правило «строка на столбец» (формула (23)):
Найдем матрицу 2Е, используя правило умножения матрицы на число (формула (21)):
Теперь найдем значение матричного многочлена f(A), используя правило умножения матрицы на число и правило сложения матриц (формула (22)):
Решение задачи 2.
Запишем систему в матричном виде:
(Во втором уравнении системы отсутствует неизвестная х3, т.е. а23 = 0).
2) Решим систему с помощью формул Крамера. Для этого по формулам (29) составляем главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений и три вспомогательных определителя:
Вычислим эти определители, используя формулу (25):
Так как ∆ ≠ 0, то данная система имеет единственное решение.
Найдем решение системы по формулам Крамера (30):
3) Решим систему при помощи обратной матрицы.
Определитель следовательно, обратная матрица существует.
б) Чтобы найти союзную матрицу А* к матрице А, необходимо вычислить по формулам (26) алгебраические дополнения всех ее элементов:
Здесь определители 2-го порядка вычислены по формуле (24).
Тогда союзная матрица (см. формулу (31)):
в) Найдем обратную матрицу по формуле (32):
г) Получим решение системы при помощи обратной матрицы по формуле (33) (правило «строка на столбец»):
Решение, полученное матричным способом, совпадает с тем, которое получено по формулам Крамера, что подтверждает правильность этого решения.
1) система в матричном виде: AX = B, где ;
2) решение системы, полученное с помощью формул Крамера:
3) решение системы, полученное при помощи обратной матрицы:
Решение задачи 3.
Модуль вектора вычисляется по формуле (35):
Чтобы найти координаты вектора , используем формулы (38) и (39):
Косинус угла между векторами и найдем по формуле (41):
Для этого вычислим скалярное произведение и по формуле (40): = –2∙0 + 2∙(–3) + (–1)∙4 = –10, затем модуль вектора : , тогда и
Проекцию вектора на направление вычислим по формуле (42):
Площадь треугольника, построенного на векторах и найдем по
формуле (44). Для этого сначала находим векторное произведение этих векторов по формуле (43):
Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах и :
Для вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах
находим смешанное произведение векторов по формуле (45):
тогда объема параллелепипеда по формуле (47): .
угол между векторами и :
проекция вектора на направление вектора :
площадь треугольника, построенного на векторах и : (кв.ед.);
объем параллелепипеда, построенного на векторах : (куб.ед.).
Решение задачи 4.
Длину ребра найдем по формуле (36):
Чтобы получить уравнение плоскости грани ABC, необходимо найти вектор, перпендикулярный плоскости ABC, т.е. вектор, перпендикулярный векторам и . Одним из таких векторов является векторное произведение на . Для того, чтобы найти его, сначала вычислим координаты векторов по формуле (37):
Векторное произведение и найдем по формуле (43):
В качестве вектора нормали к плоскости ABC можно взять любой вектор, коллинеарный полученному, например, = <9; 17; 4>. Используем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору (формула (48):
– уравнение плоскости грани ABC.
Прежде, чем найти угол между гранями ABC и BCD, получим уравнение грани BCD, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (формула (49):
– уравнение грани BCD.
Из уравнения плоскости BCD возьмем координаты вектора нормали , перпендикулярного этой плоскости: =<3; 7; –4>.
Косинус угла между плоскостями (гранями) ABC и BCD найдем по формуле(50):
Уравнения ребра AB можно записать как параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(–2;1;1) и имеющей направляющий вектор = <–1; 1; –2>(формулы (51)):
– параметрические уравнения AB.
Другой способ: можно использовать уравнения прямой, проходящей через две точки (формулы (53)):
откуда, обозначив каждую из дробей буквой t, получаем:
– параметрические уравнения AB.
Высота пирамиды DK – это прямая, проведенная из вершины D перпендикулярно грани ABC. Она имеет направляющий вектор , коллинеарный вектору нормали плоскости ABC. Можно взять, например, = = <9; 17; 4>. Запишем канонические уравнения высоты DK, используя точку D(–1; 0; –3) и вектор = <9; 17; 4>(формулы (52)):
– канонические уравнения DK.
Прежде, чем найти точку пересечения DK и грани ABC, получим параметрические уравнения прямой DK. Обозначив каждую из дробей в канонических уравнениях буквой t, получаем:
– параметрические уравнения DK.
Точка пересечения DK и грани ABC (точка К) лежит на прямой, а значит, имеет координаты , и принадлежит плоскости, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости ABC. Поэтому координаты точки K найдем, решив систему:
Решим последнее уравнение относительно t:
Вычислим координаты точки K, подставив найденное значение параметра t в первые три уравнения системы:
Итак, точка пересечения DK и грани ABC: .
Угол между ребрами AB и BC найдем, как угол между направляющими векторами прямых AB и BC: = <–1; 1; –2>и =<8; –4; –1>. Вычислим косинус угла по формуле (54):
Тогда угол между ребрами AB и BC:
Чтобы определить угол между ребром AD и гранью ABC, найдем направляющий вектор прямой: =<1; –1; –4>. Плоскость ABC имеет вектор нормали = <9; 17; 4>. Синус угла между прямой и плоскостью ABC можно вычислить по формуле (55):
Тогда угол между ребром AD и гранью ABC:
9) Выполним чертеж пирамиды в системе координат (рис. 19).
9) чертеж пирамиды на рис. 19.
как правильно писать ответ в таком случае? извините за скриншоты, у меня плохо сайт работает, не могу формулы написать
задан 25 Мар ’16 14:40
s1mka
1.2k ● 7 ● 40
98% принятых
У Вас ответ и записан как надо: f(A) равно найденной при вычислениях матрицы. Пример так был подобран составителями, что в ответе получилась матрица из нулей, но могла быть и какая-то другая.
В записи решения я бы лишние слова убрал, а написал в начале f(A)=A^2-2A+E, и далее по тексту.
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
