Вычислить тройной интеграл по области ограниченной поверхностями

Содержание

Введите подинтегральную функцию, для которой необходимо вычислить тройной интеграл
Правила ввода выражений и функций
Далее:

Введите подинтегральную функцию, для которой необходимо вычислить тройной интеграл

Найдём решение тройного интеграла от функции f(x, y, z)

Введите вверхние и нижние пределы для области интегрирования и подинтегральную функцию для тройного интеграла.
Если подинтегральной функции нету, то укажите 1

Правила ввода выражений и функций

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Услуги проектирования
Тройной интеграл
Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Как и в случае перехода к полярным координатам в двойном интеграле, дать однозначный рецепт того, когда следует применять цилиндрические или сферические координаты, нельзя, это дело опыта. Можно попробовать применить цилиндрические координаты, если подынтегральная функция и/или уравнения поверхностей, ограничивающих объём $mathbf < extit < V >> $, зависят от комбинации $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >=mathbf < extit < r >> ^ < 2 >$; сферические — если эти уравнения зависят от $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >+mathbf < extit < z >> ^ < 2 >=mathbf < extit < r >> ^ < 2 >$. Рассмотрим ряд примеров.

Найти объём $mathbf < extit < V >> $ общей части двух шаров, ограниченных сферами

Решение:

Пересечение сфер находится на уровне $2Rz=R^2Rightarrow z=R/2$ и представляет собой круг радиуса $Rfrac < sqrt 3 > < 2 >$. Объём $mathbf < extit < V >> $ограничен сверху поверхностью $z=sqrt < R^2-x^2-y^2 >$, снизу — поверхностью $z=R-sqrt < R^2-x^2-y^2 >$. Вычисления в декартовых координатах дают $V=iiintlimits_V < dv >=iiintlimits_V < dxdydz >=intlimits_ < -Rfrac < sqrt 3 > < 2 >> ^ < Rfrac < sqrt 3 > < 2 >> < dxintlimits_ < -sqrt < frac < 3 > < 4 >R^2-x^2 > > ^ < sqrt < frac < 3 > < 4 >R^2-x^2 > > < dyintlimits_ < R-sqrt < R^2-x^2-y^2 >> ^ < sqrt < R^2-x^2-y^2 >> < dz >> > $ — достаточно громоздкие выкладки.

В цилиндрических координатах объём $mathbf < extit < V >> $ ограничен сверху поверхностью $z=sqrt < R^2-r^2 >$, снизу — поверхностью $z=R-sqrt < R^2-r^2 >$, поэтому

В сферических координатах уравнение нижней сферы принимает вид $r=R$, верхней — $r^2=2Rrcos heta Rightarrow r=2Rcos heta $, их пересечение соответствует значению $cos heta =1/2Rightarrow heta =pi /3$. В интервале $0leqslant heta leqslant pi /3 quad mathbf < extit < r >> $ меняется от $0$ до $mathbf < extit < R >> $, в интервале $pi /3leqslant heta leqslant pi /2 quad mathbf < extit < r >> $ меняется от $0$ до $2Rcos heta $, поэтому

В этом примере трудоёмкость вычислений в цилиндрических и сферических координатах примерно одинакова.

Решение:

Параболоид и конус пересекаются в плоскости $x=2-x^2Rightarrow x=1$ по кругу радиуса 1. Осью симметрии объёма $mathbf < extit < V >> $ служит ось $mathbf < extit < Ох >> $, поэтому цилиндрические координаты вводим формулами $x=x,quad y=rcos varphi ,quad z=rsin varphi ; quad I=iiintlimits_V < (x+y+z)dxdydz >=iiintlimits_V < (x+rcos varphi +rsin varphi )rdxdrdvarphi >=intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi intlimits_0^1 < rdrintlimits_r^ < 2-r^2 > < (x+rcos varphi +rsin varphi )dx >> > =$ $ =intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi intlimits_0^1 < left. < frac < x^2 > < 2 >>
ight|_r^ < 2-r^2 >rdr > > +intlimits_0^ < 2pi > < (cos varphi +sin varphi )dvarphi intlimits_0^1 < left. x
ight|_r^ < 2-r^2 >r^2dr > > =pi intlimits_0^1 < left( < 4-5r^2+r^4 >
ight)dr > =frac < 38pi > < 15 >. $ Применение сферических координат в этом примере нецелесообразно < громоздкое уравнение для параболоида >.

Решение:

Здесь область интегрирования — шар радиуса 1/2, сдвинутый по оси $mathbf < extit < Оz >> $ на 1/2 единицы, подынтегральная функция зависит от выражения $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >+mathbf < extit < z >> ^ < 2 >$, поэтому применим сферические координаты. Уравнение сферы $x^2+y^2+z^2=zRightarrow r^2=rcos heta Rightarrow r=cos heta left( < Rightarrow 0leqslant heta leqslant pi /2 >
ight)$ , поэтому $I=iiintlimits_V < sqrt < x^2+y^2+z^2 >dxdydz > =iiintlimits_V < rcdot r^2sin heta drdvarphi d heta >=intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi intlimits_0^ < pi /2 > < sin heta d heta >intlimits_0^ < cos heta > < r^3dr >> =frac < 2pi > < 4 >intlimits_0^ < pi /2 >< left. < r^4 >
ight|_0^ < cos heta >sin heta d heta > = \ =frac < 2pi > < 4 >intlimits_0^ < pi /2 > < cos ^4 heta sin heta d heta >=-frac < 2pi > < 4cdot 5 >left. < cos ^5 heta >
ight|_0^ < pi /2 >=frac < pi > < 10 >$.

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью $left( < x^2+y^2+z^2 >
ight)^ < ,2 >=a^3z,;a=const>0$

Решение:

Здесь тоже для того, чтобы понять, как устроено тело, и найти его объём, надо перейти к сферическим координатам < на это указывает комбинация $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >+mathbf < extit < z >> ^ < 2 >=mathbf < extit < r >> ^ < 2 >)$. Уравнение поверхности $left( < x^2+y^2+z^2 >
ight)^ < ,2 >=a^3zRightarrow r^4=a^3rcos vartheta Rightarrow r=asqrt[3] < cos vartheta >;left( < Rightarrow 0leqslant heta leqslant pi /2 >
ight)$. По этому уравнению поверхность построить уже можно; отсутствие координаты $varphi $ в уравнении показывает, что это — тело вращения вокруг оси $mathbf < extit < Oz >> $. Находим объём: $ V=iiintlimits_V < r^2sin heta drdvarphi d heta >=intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi intlimits_0^ < pi /2 > < sin >> heta d heta intlimits_0^ < asqrt[3] < cos heta >> < r^2dr >=frac < 2pi > < 3 >intlimits_0^ < pi /2 >< left. < r^3 >
ight|_0^ < asqrt[3] < cos heta >> sin heta d heta = > $ $ =frac < 2pi a^3 > < 3 >intlimits_0^ < pi /2 > < cos heta sin heta d heta = >frac < pi a^3 > < 3 >. $

Вычислить интеграл $iiintlimits_U < left( < < x^4 >+ 2 < x^2 > < y^2 >+ < y^4 >>
ight)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена поверхностью ( < x^2 >+ < y^2 >le 1) и плоскостями (z = 0,) (z = 1).

Решение:

Данный интеграл удобно вычислить в цилиндрических координатах. Проекция области интегрирования на плоскость (Oxy) представляет собой круг ( < x^2 >+ < y^2 >le 1) или (0 le
ho le 1).

Заметим, что подынтегральное выражение записывается в виде $ < left( < < x^4 >+ 2 < x^2 > < y^2 >+ < y^4 >>
ight) > = < < left( < < x^2 >+ < y^2 >>
ight)^2 > > = < < left( < <
ho ^2 >>
ight)^2 > = <
ho ^4 >> $

Тогда интеграл будет равен $I = intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi >intlimits_0^1 < <
ho ^4 >
ho d
ho > intlimits_0^1 < dz >.$

Здесь во втором интеграле добавлен множитель (
ho) якобиан преобразования декартовых координат в цилиндрические. Все три интеграла по каждой из переменной не зависят друг от друга.

Вычислить интеграл $iiintlimits_U < left( < < x^2 >+ < y^2 >>
ight)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена поверхностями ( < x^2 >+ < y^2 >= 3z,) (z = 3)

Решение:

Область интегрирования изображена на рисунке

Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам: $ < x =
ho cos varphi , >;; < y =
ho sin varphi , >;; < z = z. >$ Дифференциал при этом равен $dxdydz =
ho d
ho dvarphi dz;;left( <
ho — ext < якобиан >>
ight).$

Уравнение параболической поверхности принимает вид: $ <
ho ^2 > < cos ^2 >varphi + <
ho ^2 > < sin^2 >varphi = 3z;; ext < или >;; <
ho ^2 >= 3z.$ Проекция области интегрирования (U) на плоскость (Oxy) представляет собой окружность ( < x^2 >+ < y^2 >le 9) радиусом (
ho = 3).

Координата (
ho) изменяется в пределах от (0) до (3,) угол (varphi) от (0) до (2pi) и координата (z) от (largefrac < < <
ho ^2 >> > < 3 >
ormalsize) до (3.)

Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла $ I = intlimits_ < — 2 >^2 < dx >intlimits_ < — sqrt < 4 — < x^2 >> > ^ < sqrt < 4 — < x^2 >> > < dy >intlimits_0^ < 4 — < x^2 >- < y^2 >> < < y^2 >dz > $

Решение:

Область интегрирования (U) изображена на рисунке:

Ее проекция на плоскость (Oxy) представляет собой круг ( < x^2 >+ < y^2 >= < 2^2 >):

Новые переменные в цилиндрических координатах будут изменяться в пределах $ < 0 le
ho le 2, >;; < 0 le varphi le 2pi , >;; < 0 le z le 4 — <
ho ^2 >. > $

Вычислить интеграл, используя цилиндрические координаты: $iiintlimits_U < sqrt < < x^2 >+ < y^2 >> dxdydz > .$ Область (U) ограничена параболоидом (z = 4 — < x^2 >- < y^2 >,) цилиндром ( < x^2 >+ < y^2 >= 4) и плоскостями (y = 0,) (z = 0)

Решение:

Изобразив схематически область интегрирования (U,) находим, что ее проекция на плоскость (Oxy) < область (D) >представляет собой полукруг радиусом (
ho = 2).

Найти интеграл $iiintlimits_U < ydxdydz >,$ где область (U) ограничена плоскостями (z = x + 1,) (z = 0) и цилиндрическими поверхностями ( < x^2 >+ < y^2 >= 1,) ( < x^2 >+ < y^2 >= 4)

Решение:

Вычислим данный интеграл в цилиндрических координатах. Из условия $0 le z le x + 1$ следует, что $0 le z le
ho cos varphi + 1.$ Область интегрирования в плоскости (Oxy) представляет собой кольцо, ограниченное окружностями ( < x^2 >+ < y^2 >= 1) и ( < x^2 >+ < y^2 >= 4)

Следовательно, переменные (
ho) и (varphi) изменяются в интервале $1 le
ho le 2,;;0 le varphi le 2pi .$

Этот результат закономерен, поскольку область (U) симметрична относительно плоскости (Oxz,) а подынтегральная функция является четной.

Найти интеграл (iiintlimits_U < sqrt < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >> dxdydz > ,) где область интегрирования (U) шар, заданный уравнением ( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >> = 25.)

Решение:

Поскольку область (U) представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от $fleft( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >>
ight),$ то перейдем к сферическим координатам.

Вычислить интеграл $iiintlimits_U < < e^ < < < left( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >>
ight) > ^ < frac < 3 > < 2 >> > > > dxdydz > ,$ где область (U) представляет собой единичный шар ( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >> le 1.)

Решение:

Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования (U) описывается неравенствами $ < 0 le
ho le 1, >;; < 0 le varphi le 2pi , >;; < 0 le heta le pi . >$

Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим $ < I = intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi >intlimits_0^1 < < e^ < <
ho ^3 >> > <
ho ^2 >d
ho > intlimits_0^pi < sin heta d heta >> = < left[ < left. varphi
ight|_0^ < 2pi >>
ight] cdot intlimits_0^1 < left( < < e^ < <
ho ^3 >> > cdot frac < 1 > < 3 >d <
ho ^3 >>
ight) > cdot left[ < left. < left( < — cos heta >
ight) >
ight|_0^pi >
ight] > = < 2pi cdot frac < 1 > < 3 >left[ < left. < left( < < e^ < <
ho ^3 >> > >
ight) >
ight|_ < <
ho ^3 >= 0 > ^ < <
ho ^3 >= 1 > >
ight] cdot left( < — cos pi + cos 0 >
ight) > = < frac < < 2pi >> < 3 >cdot left( < e — 1 >
ight) cdot 2 > = < frac < < 4pi >> < 3 >left( < e — 1 >
ight). > $

Вычислить интеграл (iiintlimits_U < xyzdxdydz >,) где область (U) представляет собой часть шара ( < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >le < R^2 >,) расположенную в первом октанте (x ge 0, y ge 0, z ge 0.)

Решение:

Найти тройной интеграл $iiintlimits_U < left( < frac < < < x^2 >> > < < < a^2 >> > + frac < < < y^2 >> > < < < b^2 >> > + frac < < < z^2 >> > < < < c^2 >> > >
ight)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена эллипсоидом $ < frac < < < x^2 >> > < < < a^2 >> > + frac < < < y^2 >> > < < < b^2 >> > + frac < < < z^2 >> > < < < c^2 >> > > = 1.$

Решение:

Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным сферическим координатам путем следующей замены переменных: $ < x = a
ho cos varphi sin heta , >;; < y = b
ho sin varphi sin heta , >;; < z = c
ho cos heta . >$ Модуль якобиана данного преобразования равен (left| I
ight| = abc <
ho ^2 >sin heta .) Поэтому для дифференциалов справедливо соотношение $dxdydz = abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta .$ В новых координатах интеграл принимает вид: $ < I = iiintlimits_U < left( < frac < < < x^2 >> > < < < a^2 >> > + frac < < < y^2 >> > < < < b^2 >> > + frac < < < z^2 >> > < < < c^2 >> > >
ight)dxdydz > > = < iiintlimits_ < U’ >< left[ < frac < < < < left( < a
ho cos varphi sin heta >
ight) > ^2 > > > < < < a^2 >> > + frac < < < < left( < b
ho sin varphi sin heta >
ight) > ^2 > > > < < < b^2 >> > + frac < < < < left( < c
ho cos heta >
ight) > ^2 > > > < < < c^2 >> > >
ight]abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta > > = \ = < iiintlimits_ < U’ > < left[ < <
ho ^2 > < < cos >^2 > varphi , < < sin >^2 > heta + <
ho ^2 > < sin^2 >varphi , < < sin >^2 > heta + <
ho ^2 > < < cos >^2 > heta >
ight]abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta > > = \ = < iiintlimits_ < U’ > < left[ < <
ho ^2 > < < sin >^2 > heta underbrace < left( < < < cos >^2 > varphi + < sin^2 >varphi >
ight) > _1 + <
ho ^2 > < < cos >^2 > heta >
ight]abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta > > = \ = < iiintlimits_ < U’ > < <
ho ^2 >underbrace < left( < < sin^2 > heta + < < cos >^2 > heta >
ight) > _1abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta > > = < abciiintlimits_ < U’ > < <
ho ^4 >sin heta d
ho dvarphi d heta > . > $

Вычислить интеграл $intlimits_0^1 < dx >intlimits_0^ < sqrt < 1 — < x^2 >> > < dy >intlimits_0^ < sqrt < 1 — < x^2 >- < y^2 >> > < < < left( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >>
ight) > ^2 > dz > ,$ используя сферические координаты.

Решение:

Область интегрирования представляет собой часть шара, расположенная в первом октанте и, следовательно, ограничена неравенствами $ < 0 le
ho le 1, >;; < 0 le varphi le frac < pi > < 2 >, > ;; < 0 le heta le frac < pi > < 2 >. > $

Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры

Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Частные случаи векторных полей

Скалярное поле, производная по направлению, градиент

Функции k-значной логики. Элементарные функции. Лемма об аналоге правила де Моргана

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Вычисление площадей плоских областей

Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

Решение задач с помощью алгебры высказываний

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

Огравление $Rightarrow $

Тройные интегралы имеют те же свойства, что и двойные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.)

I. Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования.

1. Предположим, что функция f(x, y, z) непрерывна в рассматриваемой области T.

Пусть сначала T = [a, b; c, d; e, f] — прямоугольный параллелепипед, проектирующийся на плоскость yz в прямоугольник R = [c, d; e, f]. Тогда

Заменяя в (1) двойной интеграл повторным, получим

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов.

Если первые два интеграла в (2) объединить в двойной, то будем иметь

где P = [a, b; c, d] — проекция параллелепипеда T на плоскость xy.

Заметим, что в этих случаях можно менять роли переменных.

2. Пусть область T заключена между плоскостями x = a и x = b, причём каждое сечение области T плоскостью представляет собой квадрируемую фигуру G(x)(рис. 1). Тогда

3. Пусть теперь тело T представляет собой "цилиндрический брус", ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями z = z₁(x, y) и z = z₂(x, y), проектирующиеся на плоскость xy в некоторую квадрируемую фигуру G (рис.2), z₁(x, y) и z₂(x, y) — непрерывны в G. Тогда

Если G = <(x, y): a x b, y 1 (x) y y 2 (x)>, то

Отметим, что наряду с указанными формулами имеют место и им подобные, получающиеся перестановкой переменных x, y и z.

II. Замена переменных в тройном интеграле состоит в переходе от переменных x, y, z к новым переменным u, v, w по формулам

Если выполняются условия

1?. Отображение (6) взаимно однозначно;

2?. Функции в (6) непрерывно — дифференцируемы в области

3?. Якобиан отображения

то имеет место формула

Формулы (6) называют криволинейными координатами (u, v, w) в области T. Рассмотрим примеры криволинейных координат.

1. Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).

Пусть M(x, y, z) — произвольная точка в пространстве xyz, P — проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел — полярные координаты точки P, z — аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид

Якобиан отображения (8)

2. Сферические координаты. Пусть M(x, y) — произвольная точка в пространстве xyz, P — проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно задаётся тройкой чисел , где r — расстояние точки M до точки 0, — угол между лучами OM и OZ, — полярный угол точки P на плоскости xy. Тройка чисел называется сферическими координатами точки M.

Они связаны с прямоугольными формулами

Якобиан отображения . Иногда используются обобщённые сферические координаты.

Объём V кубируемой области T (кубического тела) в пространстве xyz выражается формулой

Переходя в этом равенстве к новым переменным по формулам (6), получим выражение объёма области T в криволинейных координатах

Пусть T — материальное тело (кубируемая область) с плотностью

— масса тела.

Пример1. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x 2 + y 2 — ax = 0. (рис. 5)

Решение. Рассмотрим одну четвёртую часть тела, лежащёю в первом октанте. Часть поверхности вырезанная цилиндром, проектируется в область . Тогда

Перейдём в интеграле к цилиндрическим координатам по формулам (8). При этом уравнение окружности x? + y? — ax = 0 преобразуется в кривую а уравнение поверхности — к виду