Вычисление корня методом половинного деления

Решение алгебраического уравнения. Для численного решения алгебраических уравнений существует множество способов. Среди самых известных можно назвать метод Ньютона, метод Хорд, и «всепобеждающий» метод Половинного Деления. Сразу оговоримся, что любой метод является приближенным, и по сути дела лишь уточняющим значение корня. Однако уточняющим до любой точности, заданной Нами.

Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия — сопоставленность или противопоставленность двух частей целого) при нахождении корня уравнения f(x)=0 состоит в делении пополам отрезка [a; b], где находится корень. Затем анализируется изменение знака функции на половинных отрезках, и одна из границ отрезка [a; b] переносится в его середину. Переносится та граница, со стороны которой функция на половине отрезка знака не меняет. Далее процесс повторяется. Итерации прекращаются при выполнении одного из условий: либо длина интервала [a; b] становится меньше заданной погрешности нахождения корня ?, либо функция попадает в полосу шума ?1 — значение функции сравнимо с погрешностью расчетов.

Сначала поставим задачу. Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ?, если известно, что f(a)*f(b) 0, то теперь точкой a станет c: a=c; Если d ?, то идем в пункт 1) если нет, то корень с нужной нам точностью найден, и он равен: x=(a+b)/2;

Определить корни уравнения x2 -3.2×2 -2.5x -5.4=0 аналетически и уточните их метдом половинного деления с точностью до 0.01

Решить методом половинного деления уравнение x^2-7x+10=0 на интервале от 6 до 10 с точностью 0, 01

Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод для решения нелинейных уравнений вида f(x)=0. Предполагается только непрерывность функции f(x). Поиск основывается на теореме о промежуточных значениях.

Содержание

Обоснование [ править | править код ]

Алгоритм основан на следующем следствии из теоремы Больцано — Коши:

Пусть непрерывная функция f ( x ) ∈ C ( [ a , b ] ) <displaystyle f(x)in mathrm ([a,;b])> , тогда, если s i g n ( f ( a ) ) ≠ s i g n ( f ( b ) ) <displaystyle sign(f(a))
eq sign(f(b))> , то ∃ c ∈ [ a , b ] : f ( c ) = 0 <displaystyle exists cin [a,;b]:;f(c)=0> .

Таким образом, если мы ищем ноль, то на концах отрезка функция должна быть противоположных знаков. Разделим отрезок пополам и возьмём ту из половинок, на концах которой функция по-прежнему принимает значения противоположных знаков. Если значение функции в серединной точке оказалось искомым нулём, то процесс завершается.

Точность вычислений задаётся одним из двух способов:

1. ε f ( x ) <displaystyle varepsilon _>по оси y <displaystyle y>, что ближе к условию f ( x ) = 0 <displaystyle f(x)=0>из описания алгоритма; или
2. ε x <displaystyle varepsilon _>, по оси x <displaystyle x>, что может оказаться удобным в некоторых случаях.

Процедуру следует продолжать до достижения заданной точности.

Для поиска произвольного значения достаточно вычесть из значения функции искомое значение и искать ноль получившейся функции.

Описание алгоритма [ править | править код ]

Задача заключается в нахождении корней нелинейного уравнения

f ( x ) = 0. ( 1 ) <displaystyle f(x)=0.qquad (1)>

Для начала итераций необходимо знать отрезок [ x L , x R ] <displaystyle [x_,x_]> значений x <displaystyle x> , на концах которого функция принимает значения противоположных знаков.

Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

f ( x L ) ⋅ f ( x R ) 0 , ( 2.1 ) <displaystyle f(x_)cdot f(x_)

в действительных вычислениях такой способ проверки противоположности знаков при крутых функциях приводит к преждевременному переполнению.

Для устранения переполнения и уменьшения затрат времени, то есть для увеличения быстродействия, на некоторых программно-компьютерных комплексах противоположность знаков значений функции на концах отрезка нужно определять по формуле:

s i g n ( f ( x L ) ) ≠ s i g n ( f ( x R ) ) , ( 2.2 ) <displaystyle sign(f(x_))
eq sign(f(x_)),qquad (2.2)>

так как одна операция сравнения двух знаков двух чисел требует меньшего времени, чем две операции: умножение двух чисел (особенно с плавающей запятой и двойной длины) и сравнение результата с нулём. При данном сравнении, значения функции f ( x ) <displaystyle f(x)> в точках x L <displaystyle x_> и x R <displaystyle x_> можно не вычислять, достаточно вычислить только знаки функции f ( x ) <displaystyle f(x)> в этих точках, что требует меньшего машинного времени.

Из непрерывности функции f ( x ) <displaystyle f(x)> и условия (2.2) следует, что на отрезке [ x L , x R ] <displaystyle [x_,x_]> существует хотя бы один корень уравнения (в случае не монотонной функции f ( x ) <displaystyle f(x)> функция имеет несколько корней и метод приводит к нахождению одного из них).

Найдём значение x <displaystyle x> в середине отрезка:

x M = ( x L + x R ) / 2 , ( 3 ) <displaystyle x_=(x_+x_)/2,qquad (3)>

в действительных вычислениях, для уменьшения числа операций, в начале, вне цикла, вычисляют длину отрезка по формуле:

x D = ( x R − x L ) , <displaystyle x_=(x_-x_),>

а в цикле вычисляют длину очередных новых отрезков по формуле: x D = x D / 2 <displaystyle x_=x_/2> и новую середину по формуле:

x M = x L + x D . <displaystyle x_=x_+x_.>

Вычислим значение функции f ( x M ) <displaystyle f(x_)> в середине отрезка x M <displaystyle x_> :

• Если f ( x M ) = 0 <displaystyle f(x_)=0>или, в действительных вычислениях, | f ( x M ) | ≤ ε f ( x ) <displaystyle |f(x_)|leq varepsilon _>, где ε f ( x ) <displaystyle varepsilon _>— заданная точность по оси y <displaystyle y>, то корень найден.
• Иначе f ( x M ) ≠ 0 <displaystyle f(x_)
  eq 0>или, в действительных вычислениях, varepsilon _>"> | f ( x M ) | > ε f ( x ) <displaystyle |f(x_)|>varepsilon _>varepsilon _<>"/> , то разобьём отрезок [ x L , x R ] <displaystyle [x_,x_]>на два равных отрезка: [ x L , x M ] <displaystyle [x_,x_]>и [ x M , x R ] <displaystyle [x_,x_]>.

Теперь найдём новый отрезок, на котором функция меняет знак:

• Если значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки на левом отрезке, f ( x L ) ⋅ f ( x M ) 0 <displaystyle f(x_)cdot f(x_) или s i g n ( f ( x L ) ) ≠ s i g n ( f ( x M ) ) <displaystyle sign(f(x_))
  eq sign(f(x_))>, то, соответственно, корень находится внутри левого отрезка [ x L , x M ] <displaystyle [x_,x_]>. Тогда возьмём левый отрезок присвоением x R = x M <displaystyle x_=x_>, и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности ε f ( x ) <displaystyle varepsilon _>по оси y <displaystyle y>.
• Иначе значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки на правом отрезке, f ( x M ) ⋅ f ( x R ) 0 <displaystyle f(x_)cdot f(x_) или s i g n ( f ( x M ) ) ≠ s i g n ( f ( x R ) ) <displaystyle sign(f(x_))
  eq sign(f(x_))>, то, соответственно, корень находится внутри правого отрезка [ x M , x R ] <displaystyle [x_,x_]>. Тогда возьмём правый отрезок присвоением x L = x M <displaystyle x_=x_>, и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности ε f ( x ) <displaystyle varepsilon _>по оси y <displaystyle y>.

За количество итераций N <displaystyle N> деление пополам осуществляется N <displaystyle N> раз, поэтому длина конечного отрезка в 2 N <displaystyle 2^> раз меньше длины исходного отрезка.

Существует похожий метод, но с критерием останова вычислений ε x <displaystyle varepsilon _> по оси x <displaystyle x> [1] , в этом методе вычисления продолжаются до тех пор, пока, после очередного деления пополам, новый отрезок больше заданной точности по оси x <displaystyle x> : varepsilon _>"> ( x R − x L ) > ε x <displaystyle (x_-x_)>varepsilon _> varepsilon _"/> . В этом методе отрезок на оси x <displaystyle x> может достичь заданной величины ε x <displaystyle varepsilon _> , а значения функций f ( x ) <displaystyle f(x)> (особенно крутых) на оси y <displaystyle y> могут очень далеко отстоять от нуля, при пологих же функциях f ( x ) <displaystyle f(x)> этот метод приводит к большому числу лишних вычислений.

В дискретных функциях x L , x M <displaystyle x_,x_> и x R <displaystyle x_> — это номера элементов массива, которые не могут быть дробными, и, в случае второго критерия останова вычислений, разность ( x R − x L ) <displaystyle (x_-x_)> не может быть меньше ε x = 1 <displaystyle varepsilon _=1> .

Псевдокод [ править | править код ]

• x_n — начало отрезка по х;
• x_k — конец отрезка по х;
• x_i — середина отрезка по х;
• eps_y — требуемая точность вычислений по y (заданное приближение интервала [x_n; x_k] : x_k — x_n к нулю).

Тогда алгоритм метода бисекции можно записать в псевдокоде следующим образом:

Поиск значения корня монотонной дискретной функции [ править | править код ]

Поиск наиболее приближённого к корню значения в монотонной дискретной функции, заданной таблично и записанной в массиве, заключается в разбиении массива пополам (на две части), выборе из двух новых частей той части, в которой значения элементов массива меняют знак путём сравнения знаков срединного элемента массива со знаком граничного значения и повторении алгоритма для половины в которой значения элементов массива меняют знак.

Пусть переменные леваяГраница и праваяГраница содержат, соответственно, левую левГран и правую правГран границы массива, в которой находится приближение к корню. Исследование начинается с разбиения массива пополам (на две части) путём нахождения номера среднего элемента массива середина.

Если знаки значений массива массив[леваяГраница] и массив[середина] противоположны, то приближение к корню ищут в левой половине массива, то есть значением праваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только левая половина массива. Если знаки значений массив[леваяГраница] и массив[середина] одинаковы, то осуществляется переход к поиску приближения к корню в правой половине массива, то есть значением переменной леваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только правая половина массива. Т.о., в результате каждой проверки область поиска сужается вдвое.

Например, если длина массива равна 1023, то после первого сравнения область сужается до 511 элементов, а после второго — до 255. Т.о. для поиска приближения к корню в массиве из 1023 элементов достаточно 10 проходов (итераций).

Материал из MachineLearning.

Содержание

Введение

Существует довольно очевидная теорема: "Если непрерывная функция на концах некоторого интервала имеет значения разных знаков, то внутри этого интервала у нее есть корень (как минимум, один, но м.б. и несколько)". На базе этой теоремы построено численное нахождение приближенного значения корня функции. Обобщенно этот метод называется дихотомией, т.е. делением отрезка на две части. Обобщенный алгоритм выглядит так:

1. Задать начальный интервал ;
2. Убедиться, что на концах функция имеет разный знак;
3. Повторять
4. выбрать внутри интервала точку ;
5. сравнить знак функции в точке со знаком функции в одном из концов;
6. если совпадает, то переместить этот конец интервала в точку ,
7. иначе переместить в точку другой конец интервала;

пока не будет достигнута нужная точность.

Варианты метода дихотомии различаются выбором точки деления. Рассмотрим варианты дихотомии: метод половинного деления и метод хорд.

Метод половинного деления

Метод половинного деления известен также как метод бисекции. В данном методе интервал делится ровно пополам.

Такой подход обеспечивает гарантированную сходимость метода независимо от сложности функции — и это весьма важное свойство. Недостатком метода является то же самое — метод никогда не сойдется быстрее, т.е. сходимость метода всегда равна сходимости в наихудшем случае.

Метод половинного деления:

1. Один из простых способов поиска корней функции одного аргумента.
2. Применяется для нахождения значений действительно-значной функции, определяемому по какому-либо критерию (это может быть сравнение на минимум, максимум или конкретное число).

Метод половинного деления как метод поиска корней функции

Изложение метода

Перед применением метода для поиска корней функции необходимо отделить корни одним из известных способов, например, графическим методом. Отделение корней необходимо в случае, если неизвестно на каком отрезке нужно искать корень.

Будем считать, что корень функции отделён на отрезке . Задача заключается в том, чтобы найти и уточнить этот корень методом половинного деления. Другими словами, требуется найти приближённое значение корня с заданной точностью .

Пусть функция непрерывна на отрезке ,

и — единственный корень уравнения .

(Мы не рассматриваем случай, когда корней на отрезке несколько, то есть более одного. В качестве можно взять и другое достаточно малое положительное число, например, .)

Поделим отрезок пополам. Получим точку и два отрезка .

• Если , то корень найден ( ).
• Если нет, то из двух полученных отрезков и надо выбрать один такой, что , то есть

• , если или
• , если .

Новый отрезок делим пополам. Получаем середину этого отрезка и так далее.

Для того, чтобы найти приближённое значение корня с точностью до 0" alt= " eps >0" />, необходимо остановить процесс половинного деления на таком шаге , на котором

Однопараметрическая оптимизация (поиск экстремумов функций одной переменной) является самостоятельной и часто встречаемой задачей. Кроме того, к ней сводится гораздо более сложная задача — поиск экстремума функции многих переменных.

Рассмотрим метод половинного деления как простейший однопараметрический метод безусловной оптимизации. Данный метод является методом прямого поиска. В нем при поиске экстремума целевой функции используются только вычисленные значения целевой функции.

Дана функция . Необходимо найти , доставляющий минимум (или максимум) функции на интервале с заданной точностью , т.е. найти

Запишем словесный алгоритм метода.

1. На каждом шаге процесса поиска делим отрезок пополам, — координата середины отрезка .
2. Вычисляем значение функции в окрестности вычисленной точки , т.е.
   .
3. Сравниваем и и отбрасываем одну из половинок отрезка (рис. 1).
4. При поиске минимума:
5. Если , то отбрасываем отрезок , тогда . (рис. 1.а)
6. Иначе отбрасываем отрезок , тогда . (рис. 1.б)
7. При поиске максимума:
8. Если , то отбрасываем отрезок , тогда .
9. Иначе отбрасываем отрезок , тогда .
10. Деление отрезка продолжается, пока его длина не станет меньше заданной точности , т.е. .

Схема алгоритма метода представлена на рис 2.

При выводе – координата точки, в которой функция имеет минимум (или максимум), – значение функции в этой точке.

Метод хорд

Недостаток деления отрезка строго пополам проистекает от того, что он использует лишь знак функции, игноририруя отклонение (абсолютную величину). Но очевидно, что чем меньше (по абсолютной величине) значение функции, тем ближе мы находимся к корню. Метод хорд предлагает делить отрезок в точке, отстоящей от краев отрезка пропорционально абсолютному значению функции на краях. (Название «метод хорд» происходит от того, что точка деления является пересечением отрезка — хорды — с осью абцисс.)

Изложение метода

Метод основан на замене функции на каждом шаге поиска хордой, пересечение которой с осью дает приближение корня.

При этом в процессе поиска семейство хорд может строиться:

1. при фиксированном левом конце хорд, т.е. , тогда начальная точка (рис. 3а);
2. при фиксированном правом конце хорд, т.е. , тогда начальная точка (рис. 3б);

В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой:

Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не выполнится условие или .

Метод обеспечивает быструю сходимость, если 0″ alt= «f(z)cdot f»»(z) > 0» /»>, т.е. хорды фиксируются в том конце интервала , где знаки функции и ее кривизны совпадают.

Схема алгоритма уточнения корня методом хорд представлена на рис. 4.

Комбинация метода хорд и метода половинного деления

Метод хорд можно применить в качестве "последнего штриха" после того, как метод половинного деления гарантирует требуемую точность — это не улучшит существенно гарантируемой точности, но, скорее всего, на несколько порядков повысит точность решения.

Если применять аналогичное уточнение к интервалу, полученному методом хорд, то эффект будет значительно слабее. Это ещё раз иллюстрирует тот факт, что метод хорд очень хорошо работает в условиях малого интервала (близости обеих границ интервала к корню), но неспособен сам создать себе эти условия (приблизить обе границы к корню).

На вопрос о том, стоит ли использовать попеременное применение метода половинного деления и метода хорд, ответ отрицателен. После того, как метод хорд приближает одну из границ почти вплотную к корню, методу половинного деления придётся долго работать, чтобы гарантировать заданную точность, т.к. метод хорд ее гарантировать не может.

Поэтому лучше использовать в качестве точки деления что-то среднее: если метод половинного деления предлагает использовать , а метод хорд — , то возьмем . Коэффициент .

Чему должен быть равен коэффициент ? Его следует не задавать, а вычислять по ходу работы: если при очередной операции интервал уменьшился более чем в два раза (это то, что гарантирует метод половинного деления), то значит, нужно больше доверять методу хорд (уменьшить ), и наоборот.

Может показаться, что при большом доверии к методу хорд этот комбинированный метод работает так же, как метод хорд. На самом деле, это не так: метод хорд передвигает по направлению к корню только одну границу, а комбинированный метод даже при высоком доверии к методу хорд передвигает и вторую границу, обеспечивая лучшие условия для работы метода хорд, а значит — для ещё большего доверия к нему.