Как извлечь квадратный корень.
Часто на олимпиадах и экзаменах (например, на ЕГЭ по математике) нельзя пользоваться калькулятором. Да и в быту, иногда нужно прикинуть значение квадратного корня из целого числа, не имея калькулятора под рукой. Как поступить?
1. Прежде всего, посмотрите на последнюю цифру числа, если она равна 2, 3, 7, 8, то целого корня из этого числа не существует. А если число заканчивается цифрами 1, 4, 6, 9, то последняя цифра искомого корня может быть равна, соответственно, 1 или 9, 2 или 8, 4 или 6, 3 или 7.
Если число заканчивается цифрой 5, то нужно обратить внимание на предпоследнюю цифру. Для существования целого корня она должна быть 2-кой, т.е. только те числа, которые заканчиваются на 25, могут иметь корни с окончанием 5.
Особое место в этом строю занимает 0. Если число заканчивается одним или нечетным числом нулей, то целого корня нет, если двумя или четным, то есть корень кратный 10-ти.
| 1 | 1 или 9 | 1×1 = 1 | 9×9 = 81 |
| 4 | 2 или 8 | 2×2 = 4 | 8×8 = 64 |
| 5 | 5 | 5×5 = 25 | |
| 6 | 4 или 6 | 4×4 = 16 | 6×6 = 36 |
| 9 | 3 или 7 | 3×3 = 9 | 7×7 = 49 |
| 0 | 10 | 10×10 = 100 |
Заметили ли Вы некоторую симметрию в этой таблице? Подумайте, чем она обусловлена. Если не догадались, то посмотрите комментарий в конце этого раздела.
2. Разбейте число на группы (на грани) по 2 цифры справа налево. Начинайте с последней цифры. При этом, если заданное число состоит из нечетного числа цифр, то в крайней слева группе будет одна цифра, если из четного, то две.
Например,
| 142884 — 14’28’84 | 20449 — 2’04’49 | 1225 — 12’25 | 841 — 8’41 |
Количество граней покажет количество цифр в ответе. В этих примерах из первых двух чисел могут быть извлечены трёхзначные корни, из последующих двух – двузначные.
3. Найдите примерное значение корня из первой (самой левой грани), т.е. наибольшую цифру, квадрат которой не превышает числа, стоящего в этой грани. Для примеров выше.
| 14’28’84 | 3 2 = 9 2 . Берем 3. |
| 2’04’49 | 1 2 = 1 2 . Берем 1. |
| 12’25 | 3 2 = 9 2 . Берем 3. |
| 8’41 | 2 2 = 4 2 . Берем 2. |
Если ваше число состоит только из двух граней, то на этом можно остановиться и проверить возможные результаты умножением в столбик. Например, корень из числа 1225 должен начинаться с 3 (мы это определили в п.3), а заканчиваться может только 5-кой (см. п.1), т.е. если из этого числа существует натуральный корень, то это может быть только 35. Корень из числа 841 должен начинаться с 2, а заканчиваться может 1-цей или 9-кой, т.е. это либо 21, либо 29. Но 21 ≈ 20 и 20 2 = 400, а 29 ≈ 30 и 30 2 = 900. Заданное число 841 ближе к 900, чем к 400, поэтому ответ предположительно 29.
Итак, ответы существуют, они найдены и найдены верно.
Для двузначных ответов, а более длинные числа на ЕГЭ бывают редко, всё очень просто. Не так ли?
4. Если ваше число состоит более, чем из двух граней, или вы не хотите сразу переходить к проверке, алгоритм нахождения корня продолжается следующим шагом:
— найденную первую цифру ответа возведите в квадрат и вычтите из первой грани, к разности допишите вторую грань, получится трехзначное или четырехзначное число. Обозначим его символом A.
В наших примерах:
| 14′28’84 | 14 − 3 2 = 14 − 9 = 5. A = 528. |
| 2′04’49 | 2 − 1 2 = 2 − 1 = 1. A = 104. |
| 12′25 | 12 − 3 2 = 12 − 9 = 3. A = 325. |
| 8′41 | 8 − 2 2 = 8 − 4 = 4. A = 441. |
5. Следующая цифра должна быть наибольшей, подбираемой так:
— умножаем на 2 имеющуюся часть ответа, дописываем к ней предполагающуюся цифру и умножаем полученное число на эту же цифру. То, что получилось, вычитаем из числа А. Остаток должен быть минимально возможным положительным числом.
Например, для числа 142884 (14’28’84) найдена часть ответа — первая цифра 3 и снесена вторая грань, т.е. определено A = 528. Умножаем часть ответа на 2, получим 3×2 = 6. Теперь к 6-ке справа нужно дописать "угадываемую цифру". Определяем её примерное значение:
А = 528 ≈ 500. 500:60 ≈ 8. Поэтому подбирать начинаем с 8.
528 − 68×8 = 528 − 544 0. Следующая цифра корня 7.
Итак, в наших примерах:
| 14’28’84 | 3×2 = 6. A = 528 | 528 − 67×7 = 528 − 469 = 59. | Часть ответа 37 |
| 2’04’49 | 1×2 = 2. A = 104 | 104 − 24×4 = 104 − 96 = 8. | Часть ответа 14 |
| 12’25 | 3×2 = 6. A = 325 | 325 − 65×5 = 325 − 325 = 0. | Ответ 35 |
| 8’41 | 2×2 = 4. A = 441 | 441 − 49×9 = 441 − 441 = 0. | Ответ 29 |
Если у вас образовалось столько цифр, сколько граней, и при этом остаток на этом шаге равен 0, то ответ получен. В любом случае его имеет смысл проверить умножением.
Если, цифр столько, сколько граней, но остаток не равен 0, то или была ошибка в вычислениях выше, или натурального корня из этого числа не существует. В последнем случае, если нужно всё-таки найти его значение с заданной точностью, можно добавить необходимое количество нулевых граней (00) после запятой и продолжить.
Если граней больше, чем получено цифр, то продолжаем. В двух верхних примерах нам осталось определить только последнюю цифру, сделать это можно подбором по п.1: для числа 142884 нужно проверить умножением 372 и 378, для числа 20449 проверить 143 и 147. Но мы продолжим по общему алгоритму.
6. Образуем новое число A, добавив к остатку, полученному на предыдущем шаге следующую грань. Для получения очередной цифры ответа повторяем действия 5-го шага. Этот шаг повторяем до тех пор, пока не будет получен весь ответ.
В наших примерах:
| 14’28’84 | A = 5984. 37×2 = 74. | 5984 − 748×8 = 5984 − 5984 = 0. | Ответ 378 |
| 2’04’49 | A = 849. 14×2 = 28. | 849 − 283×3 = 849 − 849 = 0. | Ответ 143 |
Заметили, что сумма однозначных целых чисел, квадраты которых заканчиваются на одно и то же число, равна 10? Убедимся в том, что это не случайно. Пусть эти числа x и y, тогда
Вспоминим формулу квадрата разности двух чисел
и воспользуемся ею, чтобы найти квадрат y.
В этой сумме первое слагаемое заканчивается двумя нулями, второе нулем, значит всё выражение после сложения будет заканчиваться той же цифрой, что и x 2 . Т.е. x 2 и y 2 заканчиваются одинаково.
Примеры вычисления корня.
Вычислить √6335289 _______ .
Будем записывать промежуточные результаты в столбик по аналогии с делением. Черновик справа от столбика.
6’33’52’89 | 2517.
−4
____
233
−225 |45×5
______
852
−501 |501×1
________
35189
−35189 |5027×7
__________
0
1) Разбиваем число на грани: 6’33’52’89. Получилось 4 штуки, следовательно, ответ будет состоять из 4-ёх цифр. Первая цифра 2, так как 2 2 = 4 2 = 9 > 6.
2) Далее удваиваем имеющуюся часть ответа, определяем остаток, сносим очередную грань и подбираем следующую цифру ответа. Повторяем этот шаг до последней грани:
233:40 ≈ 5; 45×5 = 225 233; следовательно, 2-я цифра 5;
852:500 ≈ 1; 501×1 = 501 852; следовательно, 3-я цифра 1.
3) Если целый корень существует, то его последней цифрой может быть либо 3, либо 7. Можем проверить 2513 и 2517 умножением в столбик. Но для многозначных чисел быстрее продолжить по общему алгоритму:
35189:5000 ≈ 7; 5027×7 = 35189 (!) Последняя цифра 7.
Ответ: 2517.
Вычислить √2304 ____ .
Разбиваем на грани. 23’04. Следовательно, ответ из 2-ух цифр, первая цифра 4, т.к. 4 2 = 16 2 = 25 > 23. Последняя цифра либо 2, либо 8, т.к. результат умножения должен заканчиваться на 4.
Итак, 42 или 48? 42 ≈ 40; 40 2 = 1600. 48 ≈ 50; 50 2 = 2500. 2500 ближе к заданному числу, поэтому проверку умножением в столбик начинаем с 48.
Ответ: 48.
Это самый распространенный случай на ЕГЭ по математике, и я настоятельно рекомендую завершать его именно проверкой.
Вычислить √503 ___ .
Число заканчивается тройкой. Сразу видно, что целого значения корня не получится. Зададимся вопросом, с какой точностью надо определить корень. Допустим, в условии сказано округлить ответ до сотых. Это означает, что получить его надо до тысячных, т.е. до 3-го знака после запятой. Поэтому к заданному числу нужно добавить еще 3 нулевые грани. И не забыть саму запятую!
5’03,00’00’00 | 22,427.
−4
____
103
− 84 |42×2
______
1900
−1776 |444×4
________
12400
− 8964 |4482×2
__________
343600
−313929 |44847×7
____________
29671
1) Таким образом, разбиение на грани будет таким 5’03,00’00’00. Ответ будет состоять из пяти цифр — 2 до запятой и 3 после. Первая цифра равна 2 (2 2 = 4 2 = 9 > 5), последнюю цифру в данном случае мы определить не можем.
2) Далее, выполняем шаги 4,5,6 общего алгоритма, как обычно:
103:40 ≈ 2; 42×2 = 84 103; следовательно, 2-я цифра 2.
1900:440 ≈ 4; 444×4 = 1776 1900; следовательно, 3-я цифра 4.
12400:4480 ≈ 3; 4483×3 = 13449 > 12400; 4482×2 = 8964 343600; 44847×7 = 313929 5) предыдущую на единицу 22,427 ≈ 22,43.
Ответ: 22,43.
Вычислить √1,5 ____ .
Чтобы вычислить корень из десятичной дроби, нужно вспомнить, что 10 2 = 100 и 0,1 2 = 0,01. Т.е. при возведении в квадрат происходит удвоение разрядов. Соответственно, для извлечении квадратного корня из десятичной дроби нам нужно, чтобы она имела четное число цифр после запятой. В этом случае мы получим целое число граней после запятой при разбиении справа налево (с конца), а значит и целое число цифр в дробной части ответа.
Вспомним также, что к целой части числа можно дописывать сколько угодно нулей впереди, а к дробной — сколько угодно нулей в конце. Число от этого не меняется.
1 = 001; 23 = 000023; 1080 = 01080; но(!) 1080 ≠ 10800
0,1 = 0,10; 2,3 = 2,3000; 10,80 = 0010,8000; но(!) 10,80 ≠ 100,80 и 10,80 ≠ 10,080
1,5 = 1,50 √1,5 ___ = √1,50 ____
Допустим, что нужно дать ответ с точностью до десятых, тогда вычислять значение этого корня нужно до второго знака после запятой. Сейчас у нас 2 цифры после запятой, т.е. одна грань, поэтому добавим еще одну нулевую грань.
1) Рабиение на грани: 1,50’00. Результат будет из 3-ёх цифр — одна до запятой и две после. Первая цифра, очевидно, 1.
2) Далее действуем по алгоритму:
50:20 ≈ 2; 22×2 = 44 50; следовательно, 2-я цифра 2.
600:240 ≈2; 242×2 = 484 600; следовательно, 3-я цифра 2.
3) Округляем 1,22 ≈ 1,2.
Ответ: 1,2.
Умножаем и одновременно делим наше число на 10 в четной степени ( обязательно в четной, чтобы потом легко и точно извлечь корень из знаменателя). 1,5 = 1,5 × 100/100 = 150/100. Следовательно, нужно вычислить корень из 150 и разделить его на корень из 100, т.е. на 10.
Для небольших трёхзначных целых чисел просто запомнить значения корней, потому что они очень часто встречаются (см., например, в таблицах "Квадраты чисел от 1 до 25" и "Квадратные корни" здесь). Наиболее близкое к числу 150 значение квадрата целого числа 144, следовательно √150 ____ ≈ 12 и, соответственно, √1,5 ____ ≈ 12:10 = 1,2.
Ответ: 1,2.
Внимание: очень распространена ошибка, когда для определения примерного значения корня из 1,5 берут корень из 15. Запомним — четное количество нулей.
√10 __ ≈ 3,16 √100 ___ = 10 √1000 ____ ≈ 31,62 √10000 _____ = 100 √100000 ______ ≈ 316,23 √1000000 _______ = 1000
Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь —
mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.
Извлекать квадратные корни путеи простейших способов
Скачать:
Предварительный просмотр:
Городская научно-практическая конференция школьников
«Извлечение квадратных корней без калькулятора»
Каширина Елизавета Сергеевна
Мартынюк Татьяна Владимировна,
учитель математики МАОУ «СОШ № 93»
Глава 1. Способ разложения на простые множители …………………………….….4
Глава 2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел ……. ….5
Глава 3. Формула Древнего Вавилона ……………………………………………… ..6
Глава 4. Через решение уравнения …………………………………………………. 7
Глава 5. Деление на пары через составление ребуса …………………….…………. 8
Глава 6. Геометрический метод ……………………………………………….…….12
Глава 9.Метод вычетов нечетного числа ……………………………………. ……14
Глава 10.Другие методы . 15
При изучении темы квадратных корней на уроках алгебры часто приходилось использовать таблицу квадратов и калькулятор. Извлекать квадратные корни приходилось и на уроках геометрии при изучении теоремы Пифагора, и при решении текстовых задач, в которых нужно было найти корни квадратного уравнения с большим дискриминантом. Но не всегда под рукой был калькулятор и таблица квадратов. Уже тогда возникал вопрос, как же быть в тех случаях, когда на экзаменах ГИА и ЕГЭ использовать калькулятор запрещено. Кроме того таблица квадратов целых чисел не даёт ответ на такие вопросы, как, например, чему равен , , и др. даже приблизительно.
Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора — это непосильная задача. В лучшем случае, в ситуации, когда решение задач требует извлечения корня, а калькулятора нет под рукой, прибегают к методу подбора и пытаются вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда спасает. Сколько раз все попадали в подобные ситуации?
Как-то на уроке при изучении темы квадратных корней учительница математики показала, как в столбик можно извлекать квадратные корни. Вычислить корень можно с произвольной точностью, найти сколько угодно цифр в его десятичной записи, даже если он получается иррациональным. Алгоритм плохо запомнился, остались вопросы. Я решила разобраться в этом приеме извлечения квадратного корня, стала работать над этим вопросом. Также я узнала, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения «умной» техники, что существуют и другие способы извлечения квадратного корня. Мои вопросы и легли в основу исследования, которое для меня стало маленьким открытием. Исследуя эту тему, я нашла не один, а несколько способов решения данной проблемы.
Актуальность исследования обусловлена желанием углублить математические знания путем изучения простейших способов извлечения квадратных корней без калькулятора, распространить алгоритмы извлечения корней среди учащихся, что особенно актуально при сдаче экзаменов, где запрещено пользоваться калькулятором, а также использовать эти знания при работе с вычислениями корней на уроках математики в ситуациях отсутствия калькулятора.
Цель работы: изучить способы извлечения квадратных корней без калькулятора и отобрать самые рациональные для практического применения.
- Изучить всю найденную литературу по данному вопросу, научные статьи, исторические справки и работы современных учёных и исследователей.
- Рассмотреть найденные способы и описать их алгоритм.
- Познакомить с результатами полученных исследований одноклассников и друзей.
Гипотеза: Существует не менее двух-трёх способов извлечения квадратных корней без калькулятора.
Предмет исследования: извлечение квадратных корней без калькулятора.
Объект исследования: способы извлечения квадратных корней без калькулятора.
Глава 1. Способ разложения на простые множители
Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.
Этим способ принято использовать при решении заданий, связанных с извлечением квадратных корней, в школе.
Во время сдачи ЕГЭ по математике использование калькулятора, как известно, запрещено. Поэтому любой репетитор по математике всегда заставляет своих учеников считать все устно или на бумаге. Но время от времени встречаются задачи, при решении которых требуется извлекать квадратные корни из достаточно больших чисел, и на ЕГЭ по математике такие задачи тоже есть. С проблемой нахождения алгоритма вычисления квадратного корня из вещественного числа читатель может столкнуться (помимо ЕГЭ по математике) на различного рода математических конкурсах и олимпиадах. Итак, как найти квадратный корень без использования калькулятора?
Как репетитор по физике и математике, занимающийся подготовкой к ЕГЭ и ГИА, предлагаю вашему вниманию один действенный алгоритм, не претендующий на максимальную эффективность, но работающий безотказно с любыми вещественными числами. Приведенный метод может со временем стать столь же известным, как, к примеру, метод умножения двух чисел «столбиком», ведь он во многом на него похож.
Вот наглядная схема алгоритма вычисления квадратного корня из любого числа без использования калькулятора (кликабельно):
Алгоритм вычисления квадратного корня из любого вещественного числа без использования калькулятора
Однако, вопрос о том, почему данный алгоритм работает, остается пока открытым. Для того, чтобы разобраться в этом, возьмем, для примера, число, цифрами которого являются 
и 
То есть само число имеет вид 
Пусть корнем будет число 
, состоящее из цифр 
и 
То есть 
Выполним «столбиком» умножение 
Проанализировав это разложение, понимаем, что разделяя число 
на пары 
и 
числу в первой паре мы ставим в соответствие число, содержащееся в 
Иначе говоря, квадратный корень из числа 
округленный до нижнего целого числа, есть 
Теперь, зная значение 
для нахождения 
необходимо вычислить значение выражения 
или, что то же самое, значение выражения 
Поразмыслив над этим, понимаем, что в этом, собственно, и состоит суть действия, совершаемого при подборе числа, которое необходимо подставить на четвертом шаге алгоритма вместо знаков подчеркивания. Таким образом мы находим Зная и 
знаем 
Такой подход может быть обобщен на случай любого количества разрядов в исходном числе. Если корень не является рациональным, вычисления могут продолжаться сколь угодно долго (с любой необходимой степенью точности). Вот такой простой алгоритм. Запомните его, возможно, он пригодится вам при сдаче ЕГЭ по математике.
