Илья Бирман в заметке о числах π и e написал об их связи со мнимой единицей:
Числа π и e входят в мою любимую формулу — формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант — ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа π и е:
Почему число 2,7182818284590 в комплексной степени 3,1415926535i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки заметки и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.
Замечание о небольшой книге верно. Но я собираюсь в одной заметке рассказать, почему , без привлечения пределов и рядов. Сначала я остановлюсь на приближенном выражении для экспоненты, а также напомню, как обращаться с комплексными числами.
Экспоненциальная функция
$$egin
Экспоненциальная функция среди степенных функций с другими основаниями примечательна тем, что касательная к ее графику в точке идет под углом в 45 градусов. Как видно из рисунка, вблизи точки касания кривую можно заменить самой касательной . Поэтому для очень малых значений x экспоненту легко вычислить по приближенной формуле
Что делать, если показатель экспоненты не является малым числом? Попробуем извлечь корень из e x и сразу же возвести в квадрат: . Показатель экспоненты уменьшился в два раза. Ясно, что если экспоненту разбить на большее количество множителей, показатель уменьшится еще сильнее: e x = (e x/n ) n . Выбираем n очень большим и используем приближение для e x/n :
Чем больше n, тем меньше аргумент экспоненты x/n и тем точнее работает эта формула.
Комплексные числа
Комплексное число — это сумма обычного действительного числа a и мнимого числа bi, где мнимая единица i есть решение уравнения . Правила действий над комплексными числами легко получить, если потребовать, чтобы основные формулы арифметики действительных чисел, такие как возведение в степень и раскрытие скобок, были верны и для комплексных чисел. То есть комплексные числа можно складывать и умножать как обычно, нужно только помнить, что . Например,
У комплексных чисел a + bi есть наглядное графическое представление. Будем считать, что это число задает точку с координатами . Или, что то же самое, вектор, проведенный из начала координат в эту точку. Проекции вектора на оси координат есть a и b. Ясно, что каждому вектору можно сопоставить свою пару чисел , то есть свое комплексное число .
$$egin
<2.3>defl <4>defll <l*0.8>defh <0.6>defa <2.4>def <1.8>def <0.07>defp <0.5>draw[->,thin,gray](-h,0)—(l,0); draw[->,thin,gray](0,-h)—(0,ll); draw[red!50!black](0,0)—(a,0) node[midway,below] <$a$>; draw[black!50!green](a,0)—(a,) node[midway,right] <$b$>; draw[->,black!40!blue](0,0)—(a,) node[m >
Представление в виде вектора удобно, когда речь идет о сумме комплексных чисел. Тогда вектор, соответствующий сумме комплексных чисел, равен сумме векторов, соответствующих каждому слагаемому. К сожалению, у произведения комплексных чисел нет такой наглядной картины. Тем не менее, чтобы сформулировать относительно простое правило для представления произведения в виде вектора, перейдем от декартовых координат к полярным координатам r и α. Первое число задает длину вектора и называется модулем комплексного числа, а второе есть угол между вектором и осью абсцисс и называется аргументом. Ясно, что каждая пара этих чисел, r и α, тоже однозначно задает свой вектор и свое комплексное число.
Теперь можно сформулировать правило умножения в терминах длины вектора и его направления (оно выведено в дополнении к заметке). Длина вектора произведения равна произведению длин векторов сомножителей, а аргумент (угол между вектором и осью абсцисс) равен сумме аргументов. Я изобразил это правило на рисунке. Здесь синий вектор равен произведению зеленого и красного.
$$egin
<2.5>def
a <1.3>defaa <48>def
b <1.1>defab <72>def <1.8>def <0.07>defl <
*1.6>draw[gray,thin,->] (-0.5*l,0)—(l,0); draw[gray,thin,->] (0,-0.6)—(0,l); draw[st1](0,0)—(aa:
a*
) node[pos=0.7,left] <$r$>; draw[st2](0,0)—(ab:
b*
) node[pos=0.7,left] <$R$>; draw[st3](0,0)—(aa+ab:
b*
a*
) node[pos=0.6,left] <$rcdot R,$>; defpa <1.2>draw[thin,st1] (pa,0) arc (0:aa:pa) node[m >
Возведение в комплексную степень
В отличие от сложения и умножения, правило возведения в комплексную степень , или хотя бы во мнимую степень x bi , нельзя получить, обобщив обычное правило возведения в действительную степень. Например, 2 i — это результат умножения числа 2 самого на себя «i раз». Непонятно, правда?
Чтобы всё же определить возведение в комплексную степень, нужно привлечь дополнительные принципы или соображения по отношению к правилам арифметики. В качестве такого принципа я предлагаю считать разложение e x ≈ 1 + x около нуля справедливым не только для действительных x, но и для комплексных.
Если это разложение верно, то тогда приближенная формула e x ≈ (1 + x/n) n должна работать и для комплексных чисел. В ее показателе уже нет мнимой единицы, поэтому расчеты можно проводить с помощью выписанных выше правил. Это ровно то, что нам нужно для вычисления e iπ .
Возьмем для примера n = 10 и будем умножать число 1 + iπ/10 само на себя, чтобы получить . К счастью, компьютер большую часть работы делает за нас:
(1 + iπ/10) 1 = 1 + 0,3142i
(1 + iπ/10) 2 = 1 + 2·0,3142i − 0,3142 2 = 0,9013 + 0,6283i
(1 + iπ/10) 3 = 0,7039 + 0,9115i
(1 + iπ/10) 4 = 0,4176 + 1,1326i
(1 + iπ/10) 5 = 0,0617 + 1,2638i
(1 + iπ/10) 6 = −0,3352 + 1,2832i
(1 + iπ/10) 7 = −0,7384 + 1,1779i
(1 + iπ/10) 8 = −1,1085 + 0,9459i
(1 + iπ/10) 9 = −1,4056 + 0,5976i
(1 + iπ/10) 10 = −1,5934 + 0,1561i
Вот эти числа на рисунке:
В соответствии с правилом умножения, аргумент растет как арифметическая прогрессия, а модуль — как геометрическая. К сожалению, из-за небольшого n наша формула слишком неточная, и мы пришли к числу вместо ожидаемого −1. Но зато мы понимаем процедуру, которая при неограниченном росте n даст нужное значение.
Действительно, чем меньше число iπ/n, тем с большей точностью отрезок касательной iπ/n приближает дугу окружности, тем ближе к π/n угол между соседними векторами и тем меньше отклонение длины векторов от 1. В пределе мы получим точки окружности единичного радиуса, а само число попадет в −1. Прямые вычисления это подтверждают:
(1 + iπ/100) 100 = −1,0506 + 0,001085i,
(1 + iπ/1000) 1000 = −1,004946 + 0,00001039i,
(1 + iπ/10000) 10000 = −1,0004936 + 1,03·10 −7 i.
Дополнение 1. Привлечение математической строгости
Я на простых примерах рассказал о том, как ведут себя числа и функции. Математики обычно не используют изложенный выше способ рассуждений, хотя его можно сделать вполне строгим с помощью понятий предела и «о малого».
Но даже если следовать абсолютно строгому математическому пути построения теории, нельзя просто так ввести правило возведения в комплексную степень, без дополнительных определений и аксиом. Разложение e x ≈ 1 + x представляет собой два первых слагаемых в ряде Тейлора (остальными слагаемыми мы пренебрегли, потому что они дадут поправку порядка x 2 , которая несущественна при малых x). В простейшем случае комплексная экспонента определяется как сумма всех слагаемых ряда Тейлора. С использованием такого определения вывод формулы , и ее частного случая, формулы Эйлера, является легким упражнением для изучающих математический анализ.
В более продвинутом курсе теории функций комплексной переменной вводится понятие аналитической функции. Это такая функция f, которая раскладывается в ряд Тейлора, который сходится к самой функции f. (Для того чтобы комплексная функция была аналитической в какой-то области, достаточно, чтобы она была дифференцируемой в этой области. Требование дифференцируемости в комплексном случае гораздо сильнее, чем в действительном. Комплексная дифференцируемая функция в области бесконечно дифференцируема и аналитична на ней.) Оказывается, что аналитическую функцию, определенную для действительных чисел, можно единственным образом продолжить в область комплексных чисел, чтобы функция осталась аналитической. В этом и состоит обоснование выбора определения комплексной экспоненты через ряды: мы специально выбираем экспоненту в виде ряда, чтобы получилась аналитическая функция.
Дополнение 2. Тригонометрическая форма и умножение комплексных чисел
$$egin
<2.3>defl <4>defll <l*0.8>defh <0.6>defa <2.4>def <1.8>def <0.07>defp <0.5>draw[->,thin,gray](-h,0)—(l,0); draw[->,thin,gray](0,-h)—(0,ll); draw[red!50!black](0,0)—(a,0) node[midway,below] <$a$>; draw[black!50!green](a,0)—(a,) node[midway,right] <$b$>; draw[->,black!40!blue](0,0)—(a,) node[m >
После перехода от декартовых координат к полярным через последние можно выразить действительную и мнимую часть комплексного числа , которые являются катетами в треугольнике с гипотенузой r и углом α:
Перемножим два комплексных числа в тригонометрической форме:
Вспоминая тригонометрические формулы, видим, что в круглых скобках получились выражения для косинуса и синуса суммы углов. Окончательный ответ имеет вид
Таким образом, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения есть сумма произведений сомножителей.
Дополнение 3. О приближенных методах вычислений
В физике постоянно используются приближенные методы, особенно разложение в ряд Тейлора до первого (изредка до второго) слагаемого. Дело в том, что аналитическое решение в виде формулы можно получить разве что в простейших задачах. Численно, на компьютере, тоже не всякая задача решается. Поэтому часто в ходе преобразований приходится что-нибудь раскладывать и чем-нибудь пренебрегать.
Иногда приближенные методы удается использовать и в арифметических задачах. Прекрасный пример встречается в книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман»:
Тут в ресторан вошел японец. Я уже раньше видел его: он бродил по городу, пытаясь продать счеты. Он начал разговаривать с официантами и бросил им вызов, заявив, что может складывать числа быстрее, чем любой из них.
Официанты не хотели потерять лицо, поэтому сказали: «Да, да, конечно. А почему бы Вам не пойти к тому посетителю и не устроить соревнование с ним?»
Этот человек подошел ко мне. Я попытался сопротивляться: «Я плохо говорю на португальском!»
Официанты засмеялись. «С числами это не имеет значения», — сказали они.
Они принесли мне карандаш и бумагу.
Человек попросил официанта назвать несколько чисел, которые нужно сложить. Он разбил меня наголову, потому что пока я писал числа, он уже складывал их.
Тогда я предложил, чтобы официант написал два одинаковых списка чисел и отдал их нам одновременно. Разница оказалась небольшой. Он опять выиграл у меня приличное время.
Однако японец вошел в раж: он хотел показать, какой он умный. «Multiplicao!» — сказал он.
Кто-то написал задачу. Он снова выиграл у меня, хотя и не так много, потому что я довольно прилично умею умножать.
А потом этот человек сделал ошибку: он предложил деление. Он не понимал одного: чем сложнее задача, тем у меня больше шансов победить.
Нам дали длинную задачу на деление. Ничья.
Это весьма обеспокоило японца, потому что он явно прекрасно умел выполнять арифметические операции с помощью счет, а тут его почти победил какой-то посетитель ресторана.
«Raios cubicos!» — мстительно говорит он. Кубические корни! Он хочет брать кубические корни с помощью арифметики! Трудно найти более сложную фундаментальную задачу в арифметике. Должно быть, это был его конек в упражнениях со счетами.
Он пишет на бумаге число — любое большое число — я до сих пор его помню: 1729,03. Он начинает работать с этим числом и при этом что-то бормочет и ворчит: «Бу-бу-бу-хм-гм-бу-бу», — он трудится как демон! Он просто погружается в этот кубический корень!
Я же тем временем просто сижу на своем месте.
Один из официантов говорит: «Что Вы делаете?»
Я указываю на голову. «Думаю!» — говорю я. Затем пишу на бумаге 12. Еще через какое-то время — 12,002.
Человек со счетами вытирает со лба пот и говорит: «Двенадцать!»
«О, нет! — возражаю я. — Больше цифр! Больше цифр!» Я знаю, что, когда с помощью арифметики берешь кубический корень, то каждая последующая цифра требует большего труда, чем предыдущая. Это работа не из легких.
Он опять уходит в работу и при этом бормочет: «Уф-фыр-хм-уф-хм-гм. ». Я же добавляю еще две цифры. Наконец, он поднимает голову и говорит: «12,0!»
Официанты просто светятся от счастья. Они говорят японцу: «Смотрите! Он делает это в уме, а Вам нужны счеты! И цифр у него больше!»
Он был абсолютно измотан и ушел, побежденный и униженный. Официанты поздравили друг друга.
Каким же образом посетитель выиграл у счетов? Число было 1729,03. Я случайно знал, что в кубическом футе 1728 кубических дюймов, так что было ясно, что ответ немногим больше 12. Излишек же, равный 1,03, — это всего лишь одна часть из почти 2000, а во время курса исчисления я запомнил, что для маленьких дробей излишек кубического корня равен одной трети излишка числа. Так что мне пришлось лишь найти дробь 1/1728, затем умножить полученный результат на 4 (разделить на 3 и умножить на 12). Вот так мне удалось получить целую кучу цифр.
Несколько недель спустя этот человек вошел в бар того отеля, в котором я остановился. Он узнал меня и подошел. «Скажите мне, — спросил он, — как Вам удалось так быстро решить задачу с кубическим корнем?»
Я начал объяснять, что использовал приближенный метод, и мне достаточно было определить процент ошибки. «Допустим, Вы дали мне число 28. Кубический корень из 27 равен 3. »
Он берет счеты: жжжжжжжжжжжжжжжж — «Да», — соглашается он.
И тут до меня доходит: он не знает чисел. Когда у тебя есть счеты, не нужно запоминать множество арифметических комбинаций; нужно просто научится щелкать костяшками вверх-вниз. Нет необходимости запоминать, что 9 + 7 = 16; ты просто знаешь, что когда прибавляешь 9, то нужно передвинуть десятичную костяшку вверх, а единичную — вниз. Поэтому основные арифметические действия мы выполняем медленнее, зато мы знаем числа.
Более того, сама идея о приближенном методе вычисления была за пределами его понимания, несмотря на то, что зачастую невозможно найти метод точного вычисления кубического корня. Поэтому мне так и не удалось научить его брать кубический корень или объяснить, как мне повезло, что он выбрал число 1729,03.
Фейнман использовал ряд Тейлора для степенной функции, который для кубического корня выглядит как $$sqrt[3]<1+x>=1+x/3+ldots$$ Вот вся последовательность вычислений:
В этом приближенном ответе благодаря малости числа 1,03/1728 по сравнению с единицей все цифры точные, расхождение с правильным ответом начинается в шестом знаке после запятой. Самая сложная операция в приведенной цепочке — вычисление дроби 1,03/432.
Мнимая единица.Степени мнимой единицы.
Мнимой единицей называется число i, такое что
Мнимая единица не принадлежит привычному нам множеству действительных чисел, а используется для его расширения.
Степени мнимой единицы.
Рассмотрим несколько степеней мнимой единицы, чтобы стало ясно, как с ней работать:
 |
-1
-i
1
i
-1
-i
1
 |
Примечательно то, что любой многочлен имеет корни, если брать в рассчет мнимую единицу, а именно, число корней равно степени многочлена, с точностью до кратности корней.
Рассмотрим на примере:
Возведем в квадрат комплексное число: 
.
Этот пример можно решить 2-мя способами, 1-й способ: перепишем степень как произведение множителей: 
и перемножим числа по правилу умножения многочленов.
2-й способ: применение формулы сокращенного умножения 
:
Для комплексного числа очень просто вывести формулу сокращенного умножения:
.
Такую же формулу просто вывести для квадрата разности и для куба суммы и куба разности.
Если комплексное число необходимо возвести в пятую, десятую либо сотую степень, то здесь нужно воспользоваться тригонометрической формой комплексного числа и формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме 
, то при его возведении в натуральную степень n верна формула:
Есть комплексное число 
, найдем z 20 .
Для начала необходимо представить это число в тригонометрической форме:
Тогда, по формуле Муавра:
Не нужно считать на калькуляторе 
, а угол в основном числе случае лучше упростить, т.е. необходимо избавиться от лишних оборотов. Один оборот равен 
радиан либо 360 градусов.
Вычислим сколько оборотов в аргументе 
. Что бы было удобнее, сделаем дробь правильной:
,
Теперь видим, что можно избавиться от одного оборота: 
. Видим, что 
и 
– это один и тот же угол.
Т.о., итоговый результат записываем так:
Для более стандартного вида, запись можно представить так:
(то есть избавиться от еще одного оборота и получить значение аргумента в стандартном виде).
Еще можно представить в таком виде:
Если мнимую единицу возводить в четную степень, то методика решения такая:
Если мнимую единицу возводить в нечетную степень, то убираем одно i и получаем четную степень:
Если есть минус (либо всякий действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
