Возведение в степень через логарифм

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения и и мы хотим найти значение .

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .

Пусть переменная может принимать любое действительное значение, тогда на переменные и накладываются такие ограничения: o" title="a>o"/> , 1" title="a<>1"/>, 0" title="b>0"/>

Если нам известны значения и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа по основанию :

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

То есть основное логарифмическое тождество:

o" title="a>o"/> , 1" title="a<>1"/>, 0" title="b>0"/>

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

(o" title="a>o"/> , 1" title="a<>1"/>, 0" title="b>0"/>, 0,

d>0"/>, 1" title="d<>1"/>

1.

2.

3.

4.

5.

Следующая группа свойств позволяет представить показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента перед знаком логарифма:

6.

7.

8.

9.

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10.

11.

12. (следствие из свойства 11)

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13.

14.

15.

Частные случаи:

— десятичный логарифм

— натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

==(по свойству 7)=(по свойству 6) =

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

Ответ: 5,25

Пример 2. Вычислить:

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби "перекочуют" в числитель):

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

Применим свойства 4 и 6:

Введем замену

Получим:

Ответ: 1

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Как научиться решать логарифмы?

Объясним все человеческим языком. Логарифмы – ОЧЕНЬ простая тема.

Чтобы понять как их решать – нужно: разобраться со свойствами логарифма и понимать что как называется, понимать разницу между видами логарифмов (десятичными и натуральными).

Ну и уметь возводить число в степень, знать таблицу умножения (а это ты точно умеешь).

Все. Больше ничего не нужно.

Прочитай эту статью, обязательно реши примеры и решение логарифмов навсегда станет для тебя задачкой easy-peasy lemon squeezy — очень легкой 🙂

Что такое логарифм?

Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.

Начнем с простого. Как решить уравнение ?

Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число чтобы получить ? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ( ) и значит решением уравнения будет число три ( ).

Следующий вопрос. Как решить уравнение ?

Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число , чтобы получить число ? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное. Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм: . В общем виде он записывается так:

То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание , чтобы получить аргумент .

Вернёмся к . Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?

В нашем случае решение уравнения можно записать как или как .

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

Выражение можно также записать в виде . Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».

Теперь более общая запись:

Читается так: «Логарифм по основанию от равен », и означает: «Чтобы получить число , нужно число возвести в степень »:

Иными словами, – это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .

Примеры вычисления логарифмов

1. , так как число нужно возвести во вторую степень, чтобы получить .
2. Чему равен ? Заметим, что , тогда , то есть нужно возвести в степень , чтобы получить .
3. А чему равен ? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить как в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: . Значит, .
4. Еще пример. Чему равен ? В какую степень надо возвести , чтобы получить ? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит, . Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен .
5. . В этом случае аргумент равен корню основания: . Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): .

Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:

Логарифмом положительного числа (c) по основанию (a) ((a>0, a
eq1)) называется показатель степени (b), в которую надо возвести основание (a), чтобы получить число (c) ((c>0)), т.е.

Объясним проще. Например, (log_<2><8>) равен степени, в которую надо возвести (2), чтоб получить (8). Отсюда понятно, что (log_<2><8>=3).

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

а) В какую степень надо возвести (4), чтобы получить (16)? Очевидно во вторую. Поэтому:

б) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (frac<1><3>) ? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени ).

в) В какую степень надо возвести (sqrt<5>), чтобы получить (1)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

г) В какую степень надо возвести (sqrt<7>), чтобы получить (sqrt<7>)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

д) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (sqrt<3>)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень — это степень (frac<1><2>) .

В сложных случаях для вычисления логарифма удобно переводить его в показательное уравнение.

Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
(log_=b) (Leftrightarrow) (a^=c)

Что связывает (4sqrt<2>) и (8)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки:
(4=2^<2>) (sqrt<2>=2^<frac<1><2>>) (8=2^<3>)

Слева воспользуемся свойствами степени: (a^cdot a^=a^) и ((a^)^=a^)

Основания равны, переходим к равенству показателей

Умножим обе части уравнения на (frac<2><5>)

Получившийся корень и есть значение логарифма

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: (3^=9). Просто подберите (x), чтобы равенство сработало. Конечно, (x=2).

А теперь решите уравнение: (3^=8).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как (x=log_<3><8>).

Хочу подчеркнуть, что (log_<3><8>), как и любой логарифм — это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: (1,892789260714. )

(4^<5x-4>) и (10) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.

Воспользуемся определением логарифма:
(a^=c) (Leftrightarrow) (log_=b)

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.

Поделим уравнение на 5

Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы ((a>0, a
eq1)). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера (e) (равное примерно (2,7182818…)), и записывается такой логарифм как (ln).

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается (lg).

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь . С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример: Найдите значение выражения (36^<log_<6><5>>)

Зная формулу ((a^)^=a^), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение

Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что (log_<2><4>) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать (log_<2><4>).

Но (log_<3><9>) тоже равен (2), значит, также можно записать (2=log_<3><9>) . Аналогично и с (log_<5><25>), и с (log_<9><81>), и т.д. То есть, получается

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как (log_<2><8>), или как (log_<3><27>), или как (log_<4><64>)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе: