На данной странице калькулятор поможет возвести матрицу в степень онлайн с подробным решением. Для расчета задайте целые или десятичные числа.
Матрицу в степень
Теория
Возвести в степень можно только квадратную матрицу 2×2, 3×3 и т.д.
Чтобы возвести матрицу A в квадрат, нужно это матрицу умножить саму на себя.
Пример
Возвести матрицу А в квадрат.
Умножим матрицу A саму на себя.
Чтобы возвести матрицу A в куб, нужно это матрицу умножить саму на себя три раза.
A 3 = A · A · A = A 2 · A.
Пример
Возвести матрицу А в куб.
Умножим матрицу A саму на себя и найдем матрицу во второй степени.
Полученную матрицу умножим на исходную A.
Формула
Формула возведения матрицы в степень работает только для квадратных матриц и натуральной степени:
Другими словами, для того, чтобы выполнить возведение матрицы в степень $ n $ нужно умножить её саму на себя $ n $ раз.
При возведении в степень матрицу удобно применять свойство: $$ A^ = A^n cdot A^m $$
Примеры решений
Пример 1
Выполнить возведение матрицы в степень: $$ A = egin 2&1 \ 1&0 end; a) n=2; b) n=4 $$
Решение
a) Возведем сначала в степень $ n = 2 $. По формуле умножаем матрицу саму на себя $ n = 2 $ раза:
Выполняем умножение двух матриц обычным способом:
Итого, получили: $$ A^2 = egin 5&2 \ 2&1 end$$
b) Возвести в степень $ n = 4 $ можно аналогично перемножив матрицу $ A $ саму на себя 4 раза. Но это делать не удобно, потому что необходимо выполнить 4 операции умножения. Чтобы облегчить эту задачу используем свойство степени и того останется всего 1 операция умножения. А именно $ A^4 = A^2 cdot A^2 $
Зная чему равна матрица $ A^2 $ из предыдущего пункта имеем:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
Пример 2
Найти третью степень матрицы: $$ A = egin 2&0&1 \ 1&-1&0 \ 0&3&1 end$$
Решение
Пользуемся свойством степеней:
Возводим сначала матрицу в квадрат:
Теперь используя свойство степени находим третью степень:
Возведение матрицы в степень представляет собой умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу.
Так как в общем случае при умножении матриц должно выполняться равенство количества столбцов первой матрицы и количества строк второй матрицы, получается, что при умножении матрицы саму на себя в ней должно быть равное количество строк и столбцов.
Отсюда вытекает правило: допускается возводить в степень только квадратные матрицы, то есть с равным количеством строк и столбцов.
Получается, что возведение матрицы в степень – это частный случай умножения матриц по свойству ассоциативности матричного умножения.
Математически это можно представить следующим образом:
Рассмотрим пример возведения матрицы А в куб.
Решение.
Вы также можете
в качестве элементов матрицы вводить целые и дробные числа, а также выражения с переменной x (например, в ячейку матрицы можно ввести 2x , или sin(x) , или даже ((x+2)^2)/lg(x) ). Полный список доступных функций можно найти в справке.
