Вектор нормали к кривой

Нормальная плоскость.

Плоскость (mathcal

), проходящую через точку (M_<0>) кривой (Gamma) и перпендикулярную касательной к этой кривой в точке (M_<0>), называют нормальной плоскостью кривой (Gamma) в точке (M_<0>).

Рис. 22.5

Если кривая (Gamma) задана уравнением в векторной форме
$$
Gamma=< extbf= extbf(t), alphaleq tleqeta>,label
$$
где
$$
extbf=(x,y,z),quad extbf(t)=(x(t),y(t),z(t)),
onumber
$$
(t_<0>in[alpha,eta]), (overrightarrow= extbf(t_0)) и ( extbf‘(t_0)
eq 0), то вектор ( extbf‘(t_0)) параллелен касательной к кривой (Gamma) в точке (M_<0>). Пусть (M) — произвольная точка нормальной плоскости (mathcal

) (рис. 22.5), (overrightarrow= extbf). Тогда вектор (overrightarrow_<0>= extbf— extbf(t_0)) перпендикулярен вектору ( extbf‘(t_<0>)), и поэтому уравнение нормальной плоскости (mathcal

) к кривой (Gamma) в точке (M_<0>) можно записать в виде
$$
( extbf— extbf(t_<0>), extbf‘(t_<0>))=0
onumber
$$
или
$$
(x-x(t_<0>))x'(t_0)+(y-y(t_<0>))y'(t_<0>)+(z-z(t_0))z'(t_0)=0.
onumber
$$

Главная нормаль.

Любую прямую, лежащую в нормальной плоскости (mathcal

) к кривой (Gamma) в точке (M_<0>), называют нормалью кривой (Gamma) в точке (M_<0>). Среди всех нормалей выделяют одну — главную нормаль.

Понятие главной нормали требует введения дополнительных ограничений на вектор-функции, с помощью которых записываются уравнения кривых. Пусть (Gamma) — гладкая кривая, заданная уравнением eqref, причем для всех (tin[alpha,eta]) существует ( extbf″(t)). В этом случае говорят, (Gamma) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек.

Если (Gamma) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением eqref, (s) — переменная длина дуги кривой (Gamma), то существуют (displaystyle frac>) и (displaystyle frac<2> extbf><2>>) и справедливы равенства
$$
frac>=frac< extbf‘(t)>″(t)-s″(t) extbf‘(t)><(s(t))^<3>>.label
$$

(circ) Применяя правило дифференцирования вектор-функции при замене переменного, получаем формулу eqref:
$$
frac>=frac>

>

$$
Используя формулу eqref и правило дифференцирования произведения векторной функции на скалярную, находим
$$
frac extbf><2>>=»frac

Перейдем к определению главной нормали. Будем считать, что (Gamma) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением eqref. Тогда существуют (displaystyle frac>) и (displaystylefrac extbf>>), причем (displaystyle frac>) — единичный вектор в силу данного утверждения. Обозначим этот вектор буквой ( au). Тогда
$$
frac>=» au,quad» | au|=»1,label»
$$
и поэтому (см. данный пример) вектор (displaystyle frac=»frac extbf>>)» ортогонален вектору ( au).

Пусть (
u) — единичный вектор, параллельный вектору (displaystyle frac). Тогда
$$
frac=»k
u,quad|
u|=1,label»
$$
причем вектор (
u) ортогонален вектору ( au).

Так как вектор ( au=»displaystyle» frac>) параллелен вектору касательной (r»(t)) к кривой (Gamma) в силу равенства eqref, то из eqref следует, что вектор (
u) параллелен нормальной плоскости кривой (Gamma) в точке (M) ((overrightarrow=r(t))). Поэтому вектор (
u) параллелен одной из нормалей кривой (Gamma) в точке (M). Эту нормаль называют главной.

Итак, если в точке (MinGamma) выполняется условие eqref, то нормаль к кривой (Gamma) в точке (M), параллельная вектору (
u) (формула eqref), называется главной нормалью.

Пространственные кривые. Задание пространственной кривой. Регулярное задание кривой. Регулярная кривая. Неявное задание пространственной кривой. Касательная к пространственной кривой. Единичный вектор касательной. Бинормаль и главная нормаль и их единичные векторы. Нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая плоскости. Ускорение при криволинейном движении и векторы сопровождающего трехгранника. Кривизна пространственной кривой. Теорема о прямой. Кручение пространственной кривой. Теорема о плоской кривой. Формулы Френе. Естественный параметр и натуральные уравнения кривой.

Основные определения, результаты, комментарии

Элементарной кривой в пространстве называется образ открытого интервала при его гомеоморфизме в евклидово трехмерное пространство.

Общей кривой на плоскости называется подмножество евклидова пространства, локально гомеоморфное прямой.

Как и в случае плоских кривых, всякая общая кривая допускает покрытие элементарными кривыми.

Кривая задана неявным способом

если координаты каждой точки кривой удовлетворяют обоим уравнениям .

Наиболее удобны и наиболее часто используются векторно-параметрическое представление

и координатно-параметрическое представление

отличающиеся лишь формой записи.

Определение регулярности параметрического представления пространственной кривой полностью аналогично плоскому случаю.

Неявное задание (5) кривой регулярно в точке , если матрица частных производных

имеет в этой точке ранг 2.

Понятия длины кривой, ее естественной параметризации, а также определение касательной полностью аналогичны тем же понятиям для плоских кривых. Направляющий вектор касательной — это, по-прежнему, производная , имеющая физический смысл скорости, если параметрическое представление кривой интерпретировать как кинематическое описание движения точки.

Нормальная плоскость кривой в точке — это плоскость, проходящая через точку ортогонально касательной.

Соприкасающейся плоскостью кривой в ее точке (рис. 17) называется содержащая эту точку плоскость , удовлетворяющая соотношению

где — точка, принадлежащая элементарной окрестности точки .

Спрямляющей плоскостью кривой в ее точке называется содержащая эту точку плоскость, ортогональная нормальной и соприкасающейся плоскостям в этой точке.

Прямые, ортогональные соприкасающейся и спрямляющей плоскостям в точке , называются соответственно бинормалью и главной нормалью кривой в точке .

Нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая плоскости образуют сопровождающий трехгранник кривой , или трехгранник Френе , в точке , и называются его гранями . Касательная, бинормаль и главная нормаль называются ребрами сопровождающего трехгранника (рис. 18).

Уравнения элементов сопровождающего трехгранника вычисляются по следующим правилам:

Единичные векторы

Если параметризация естественная , то вектор главной нормали может быть вычислен по формуле .

Вектор ускорения может быть разложен в сумму двух составляющих: нормальной (ортогональной вектору скорости) и тангенциальной (параллельной вектору скорости). При этом нормальная составляющая ускорения сонаправлена единичному вектору главной нормали.

Пусть и — две различные точки кривой , соответствующие значениям и естественного параметра. Тогда — длина дуги кривой, заключенной между точками и . Пусть — величина угла, образуемого касательной к кривой в точке по отношению к касательной в точке . Кривизна кривой в ее точке — это предел

В отличие от кривизны плоской кривой, кривизна пространственной кривой всегда положительна . Кривизна пространственной кривой в регулярной точке может быть вычислена по формулам:

Пусть и — две различные точки кривой , соответствующие значениям естественного параметра и соответственно, и — единичные векторы бинормалей в этих точках (рис. 19).

Обозначим за величину угла между ними. Очевидно, этот угол равен углу, образованному соприкасающимися плоскостями в точках и .

Абсолютным кручением кривой в точке называют величину

Кручение кривой определяется в соответствии со следующим правилом: если при движении вдоль кривой по направлению возрастания параметра вектор бинормали поворачивается в сторону, указываемую вектором , в противном случае. Наглядно это означает, что кривая с положительным кручением "закручена" по правилу правого винта.

Кручение кривой в точке, соответствующей значению параметра , может быть вычислено по следующим формулам:

Для производных векторов , по естественному параметру справедливы формулы Френе :

Уравнения и называются натуральными уравнениями кривой. По натуральным уравнениям вид кривой может быть восстановлен с точностью до перемещения. В большинстве случаев решение такой задачи оказывается очень сложным.

1. Для данных представлений кривых укажите область допустимых значений параметра и область значений параметра, в которой задание кривой регулярно.
1)
2)
3)
4) .

2. Кривая задана неявными уравнениями. Изобразите на рисунке вид кривой. Постройте какое-нибудь параметрическое представления этой кривой. Укажите область допустимого изменения параметра и область регулярности параметризации.
1)
2) R,;; y>0;$ —> R,;; y>0;$">
3)

3. Кривая Вивиани образована пересечением сферы радиуса и цилиндра радиуса , проходящего через центр сферы. Постройте параметрическое представление кривой Вивиани.

4. Винтовая линия. Окружность радиуса движется так, что ее центр перемещается вдоль оси , плоскость ортогональна оси . По окружности равномерно движется точка. В начальный момент времени точка имеет координаты . Составьте параметрические уравнения кривой, описываемой данной точкой.

5. Кривая задана пересечением цилиндрических поверхностей и Постройте параметрическое представление кривой , не содержащее радикалов, и дайте ее изображение.

6. Покажите, что линия

принадлежит сфере и является линией пересечения параболического и кругового цилиндров.

7. Найдите длину дуги линии

между плоскостями и .

8. Покажите, что кривая замкнута и имеет длину .

9. Запишите в естественной параметризации
a) винтовую линию ;
б) гиперболическую винтовую линию .

10. Кривая задана параметрически: 0. end —>

Напишите уравнения
а) касательной и нормальной плоскости в точке (1/4; 1/3; 1/2);
б) касательной, параллельной плоскости .

11. Найдите линию, по которой касательные к линии

Сферической индикатрисой данной кривой называется геометрическое место концов единичных касательных векторов, отложенных от начала координат.

12. Дана винтовая линия

a) Напишите уравнение семейства касательных этой кривой;
б) убедитесь в том, что все касательные к винтовой линии образуют с плоскостью один и тот же угол;
в) составьте уравнение кривой, образуемой точками пересечения касательных с плоскостью ;
г) найдите сферическую индикатрису винтовой линии.

13. Докажите, что все нормальные плоскости кривой Вивиани (задача 3) проходят через начало координат.

14. Составьте уравнения бинормали и главной нормали кривой в указанной точке:
1)
2)
3) ;
4)

15. Найдите точки на кривой

в которых бинормаль параллельна плоскости .

16. Материальная точка движется в пространстве по закону

Укажите моменты времени, в которые
а) ее скорость равна нулю, и сравните их со значениями параметра , при которых параметризация траектории нерегулярна;
б) нормальное ускорение точки ортогонально .

17. Составьте уравнения ребер и граней сопровождающего трехгранника данной кривой в указанной точке
1)
2)
3)
4)

18. Для данной кривой вычислите кривизну в данной точке сначала по готовой формуле, а затем по следующему плану: 1) составьте уравнение поля единичных касательных векторов данной кривой; 2) вычислите абсолютную величину производной этого поля по естественному параметру. Результаты сравните.
1) 0,;; b
e 0, ;; t_0=pi/2$ —> 0,;; b
e 0, ;; t_0=pi/2$">
2)

19. Для кривых задачи 18 вычислите абсолютное кручение в данной точке сначала по готовой формуле, а затем по следующему плану: 1) составьте уравнение поля единичных векторов бинормали данной кривой; 2) вычислите абсолютную величину производной этого поля по естественному параметру. Результаты сравните.

20. Вычислите кривизну и кручение данной кривой произвольной регулярной точке:
1) 0,;; b
e 0$ —> 0,;; b
e 0$">;
2)
3)
4) .

21. Найдите точки распрямления следующих кривых:
1)
2)
3) .

22. Найдите точки уплощения и дуги, на которых кручение сохраняет свой знак, у следующих кривых:
1)
2)

23. Напишите натуральные уравнения, которым удовлетворяют следующие кривые:
1) 0,;; b
e 0$ —> 0,;; b
e 0$">;
2)

24. Найдите точки на кривой

в которых кривизна принимает локально минимальное значение.

25. Найдите точки на кривой

в которых радиус кривизны достигает локального максимума.

26. Докажите, что следующие кривые плоские, и составьте уравнения плоскостей, в которых они расположены:

27. Найдите такую функцию , чтобы кривая

была плоской. Решите задачу двумя способами: 1) используя условие плоскости и 2) используя тот факт, что искомая кривая принадлежит круговому цилиндру (составьте его уравнение!). Результаты сравните.

28. Докажите, что если все соприкасающиеся плоскости линии проходят через неподвижную точку , то линия плоская.

29. Докажите, что если соприкасающиеся плоскости линии (отличной от прямой) параллельны некоторому вектору , то линия плоская.

30. Докажите, что если все нормальные плоскости линии параллельны некоторому вектору , то линия или прямая, или плоская.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в котором свойства кривых, поверхностей и других геометрических многообразий изучаются методами математического анализа, в первую очередь – дифференциального исчисления. Работы по дифференциальной геометрии К.Гаусса (1777–1855), Г.Дарбу (1842–1917), Л.Бианки (1856–1928) и Л.Эйзенхарта (1876–1965) посвящены, главным образом, свойствам, проявляющимся в малой окрестности обычной точки многообразия. Это предмет так называемой дифференциальной геометрии «в малом». Более поздние работы, особенно начиная с 1930-х годов, посвящены изучению взаимосвязей между дифференциальной геометрией малых окрестностей и «глобальными» свойствами всего многообразия. Эту теорию называют дифференциальной геометрией «в целом». Кроме того, дифференциальная геометрия разбивается на разделы по аналогии с подразделением всей геометрии. Если на рассматриваемом многообразии определено расстояние, то возникает «метрическая» дифференциальная геометрия, называемая римановой в честь ее создателя Б.Римана (1826–1866). Аналогично проективная, аффинная и конформная дифференциальные геометрии занимаются изучением дифференциальных свойств пространств, в которых выделяются проективные, аффинные или конформные аспекты. Хотя первоначально дифференциальная геометрия занималась изучением свойств кривых и поверхностей в обычном пространстве, ныне она изучает многообразия любого числа измерений, которые могут быть (а могут и не быть) подпространствами евклидова пространства.

Кривые на плоскости и в пространстве.

Будем задавать кривые на плоскости параметрическими уравнениями x = f (s), y = g (s), где s – натуральный параметр, длина дуги кривой. В векторной форме это можно записать так: X = F(s). См. также ВЕКТОР.

Тогда единичный вектор касательной к кривой задается формулой

Вектор dT/ds в каждой точке кривой перпендикулярен к касательной, а его длина равна кривизне k кривой. Прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Следовательно, если N – единичный вектор нормали, то

Кроме того, можно показать, что

Если k задана как функция от s, например, k = f(s), то уравнения (1)–(3) определяют кривую однозначно с точностью до ее положения на плоскости. Соотношение k = f(s) называется внутренним уравнением кривой.

Кривая в обычном пространстве, не лежащая на плоскости, называется пространственной кривой. Чтобы исследовать дифференциальную геометрию такой кривой, зададим ее параметрическими уравнениями x = f(s), y = g(s), z = k(s) (s – натуральный параметр) или, в векторной форме, уравнением X = F(s). Единичный вектор касательной определяется равенством

Вектор dT/ds в каждой точке задает нормаль к кривой; заметим, что это лишь одна из бесконечного множества нормалей к пространственной кривой в этой точке. Единичный вектор в направлении вектора dT/ds называется единичным вектором главной нормали N кривой, а длина вектора dT/ds, как и в случае плоских кривых, называется кривизной кривой:

Вектор dN/ds перпендикулярен к N, и поэтому его можно записать в виде

где B – единичный вектор нормали, перпендикулярной к N. Прямая, определяемая вектором B, называется бинормалью к кривой, а коэффициент t в (6) – кручением кривой. Наконец, рассмотрим вектор dB/ds; можно показать, что

Соотношения (5)–(7) называются формулами Френе. Из них следует, что если функции k = f (s) и t = y (s) заданы, то кривая определена однозначно с точностью до положения в пространстве. Таким образом, в этих формулах содержится вся теория пространственных кривых. Плоскость, определяемая векторами T и N, называется соприкасающейся, плоскость, содержащая векторы N и B, – нормальной и плоскость, проходящая через векторы B и T, – спрямляющей.

Поверхности в пространстве.

Дифференциальные свойства поверхностей в обычном пространстве выводятся из их первой и второй основных квадратичных форм. Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями x = f (u 1 , u 2 ), y = g (u 1 , u 2 ), z = h (u 1 , u 2 ) или векторным уравнением X = F (u 1 , u 2 ). (Верхними индексами здесь нумеруются переменные.) Дифференциал длины дуги ds определяется первой основной формой, а именно

Полезно также ввести величины g ij :

Первая фундаментальная форма полностью определяет внутреннюю геометрию поверхности, т.е. ту геометрию, которую наблюдал бы воображаемый обитатель поверхности, неспособный воспринимать происходящие вне нее явления. Такое двумерное существо находилось бы в положении, сравнимом с положением обычного трехмерного человека, воспринимающего геометрию нашего трехмерного пространства, но неспособного воспринимать свойства пространства большего числа измерений, в котором лежит наше пространство (если такое пространство действительно существует).

Плоскость, касательная к поверхности в точке P, определяется двумя векторами в P, задаваемыми формулами

Единичный вектор нормали N определяется как общий перпендикуляр к T₁ и T₂. Как и в теории кривых, удобно рассмотреть векторы ¶T_i/¶u j (i, j = 1, 2). Эти векторы можно разложить по направлениям векторов T₁, T₂ и N:

Величины Г i _jk в (9) называются символами Кристоффеля второго рода. Они определяются через величины [i, j, k] (символы Кристоффеля первого рода) соотношениями

где по определению

Величины b_ij в (9) называются коэффициентами второй основной формы поверхности. Сравнивая (9) с (5), нетрудно видеть, что для поверхности b_ijиграют такую же роль, как кривизна для плоских кривых: они описывают внешние свойства поверхности – непостижимые для воображаемого двумерного существа, живущего на поверхности, но доступные пониманию обычного трехмерного человека.

Любой единичный вектор, касательный к поверхности, может быть записан в виде

За полуоборот вектора l кривизна k(l) изменяется и достигает в общем случае ровно одного максимального и одного минимального значения. Эти значения соответствуют двум положениям вектора l, находящимся под прямым углом друг к другу, а соответствующие значения k(l) называются главными кривизнами поверхности. Произведение главных кривизн называется полной (гауссовой) кривизной K поверхности, а их сумма – средней кривизной H. Эти величины определяются выражениями