Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №73
к главе «Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §4 Тетраэдр и параллелепипед.».
Найдем точки пересечения пл. MNP с ребрами тетраэдра.
NP — средняя линия
Плоскости ABD и MNP имеют общую точку М, значит они пересекаются по прямой, проходящей через т. М в пл. ABD.
Эта прямая параллельна NP, а раз
то эта прямая параллельна BD.
Пусть K — точка пересечения этой прямой с ребром AD (раз BD пересекает AD, тогда прямая, параллельная BD пересечет AD).
поэтому точка K середина AD.
Аналогично получаем, что PK — средняя линия в ΔADC, поэтому
4-угольник MNPK — параллелограмм по определению.
Ответ или решение 1
Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2ENE6Oe).
У тетраэдра все ребра равны. Так как по условию, точки М, К, Р середины отрезков АВ, ВД, ВС, то отрезок КМ средняя линия треугольника АВД, КР – средняя линия треугольника ВСД, МР – средняя линия треугольника АВС.
Отрезки средних линий параллельны основаниям треугольников: MK || АД, КР || СД, МР || АС, тогда и плоскость МКР параллельны плоскости АСД, что и требовалось доказать.
Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной стороны, тогда треугольник МКР подобен треугольнику АСД по трем пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия К = АД / МК = АД / (АД / 2) = 2.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Sавс / Sмкр = 48 / Sмкр = 2 2 .
Sмкр = 48 / 4 = 12 см 2 .
Ответ: Площадь треугольника МКР равна 12 см 2 .
площадь треугольника MKP равна 48см(в квадрате)
MK — средняя линия ABD, KP — средняя линия BDC (по теореме о средней линии)
MK || AB, KP || BC ⇒ MKP || ABC (по признаку паралельности плоскостей), ∠MKP = ∠ABC (как подобные)
MK=AB/2, KP=BC/2 ⇒ AB=2MK, BC=2KP ⇒ S (ABC) = ½ AB·BC·sin (∠ABC) = ½ 2MK·2KP·sin (∠MKP) =
=4· ½ MK·KP·sin (∠MKP) = 4 S (ABC) = 192 см²
Другие вопросы из категории
ерхнего основания с серединой данной хорды равен 4√2 см и образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
Читайте также
если площадь треугольника МКР равна 48 см2.
ребер АВ, BD и ВС. Докажите, что плоскость МКР параллельна плоскости ACD, и найдите площадь треугольника МКР, если площадь треугольника ACD равна 48 см2. 2, Дан параллелепипед АВСD A1B1C1D1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра BC параллельно плоскости DBB1
3. Прямые a и b расположены соответственно в параллельных плоскостях альфа и бетта. Верно ли, что эти прямые не имеют общих точек? Ответ обоснуйте.
площадь треугольника ACD — 48 см2
треугольника ABC прямой AD перпендикуляр к плоскости ABC.Докажите,что треугольник DBC прямоугольный 3) ABCD- прямоугольник со сторонами 24см и 10см.AM-перпендикуляр к его плоскости прямая MC наклонная к плоскости прямоугольника под углом 30градусов.Найдите длину перпендикуляра AM
найдите площадь сечения, если все ребра тетраэдра равны а.