В тетраэдре abcd точки mkp середины ребер

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №73
к главе «Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §4 Тетраэдр и параллелепипед.».

Найдем точки пересечения пл. MNP с ребрами тетраэдра.

NP — средняя линия

Плоскости ABD и MNP имеют общую точку М, значит они пересекаются по прямой, проходящей через т. М в пл. ABD.

Эта прямая параллельна NP, а раз

то эта прямая параллельна BD.

Пусть K — точка пересечения этой прямой с ребром AD (раз BD пересекает AD, тогда прямая, параллельная BD пересечет AD).

поэтому точка K середина AD.

Аналогично получаем, что PK — средняя линия в ΔADC, поэтому

4-угольник MNPK — параллелограмм по определению.

Ответ или решение 1

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2ENE6Oe).

У тетраэдра все ребра равны. Так как по условию, точки М, К, Р середины отрезков АВ, ВД, ВС, то отрезок КМ средняя линия треугольника АВД, КР – средняя линия треугольника ВСД, МР – средняя линия треугольника АВС.

Отрезки средних линий параллельны основаниям треугольников: MK || АД, КР || СД, МР || АС, тогда и плоскость МКР параллельны плоскости АСД, что и требовалось доказать.

Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной стороны, тогда треугольник МКР подобен треугольнику АСД по трем пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия К = АД / МК = АД / (АД / 2) = 2.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Sавс / Sмкр = 48 / Sмкр = 2 2 .

Sмкр = 48 / 4 = 12 см 2 .

Ответ: Площадь треугольника МКР равна 12 см 2 .

площадь треугольника MKP равна 48см(в квадрате)

MK — средняя линия ABD, KP — средняя линия BDC (по теореме о средней линии)
MK || AB, KP || BC ⇒ MKP || ABC (по признаку паралельности плоскостей), ∠MKP = ∠ABC (как подобные)
MK=AB/2, KP=BC/2 ⇒ AB=2MK, BC=2KP ⇒ S (ABC) = ½ AB·BC·sin (∠ABC) = ½ 2MK·2KP·sin (∠MKP) =
=4· ½ MK·KP·sin (∠MKP) = 4 S (ABC) = 192 см²

Читайте также:  В какой программе создать кроссворд

Другие вопросы из категории

ерхнего основания с серединой данной хорды равен 4√2 см и образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Читайте также

если площадь треугольника МКР равна 48 см2.

ребер АВ, BD и ВС. Докажите, что плоскость МКР параллельна плоскости ACD, и найдите площадь треугольника МКР, если пло­щадь треугольника ACD равна 48 см2. 2, Дан параллелепипед АВСD A1B1C1D1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра BC параллельно плоскости DBB1

3. Прямые a и b расположены соответственно в параллельных плоскостях альфа и бетта. Верно ли, что эти прямые не имеют общих точек? Ответ обоснуйте.

площадь треугольника ACD — 48 см2

треугольника ABC прямой AD перпендикуляр к плоскости ABC.Докажите,что треугольник DBC прямоугольный 3) ABCD- прямоугольник со сторонами 24см и 10см.AM-перпендикуляр к его плоскости прямая MC наклонная к плоскости прямоугольника под углом 30градусов.Найдите длину перпендикуляра AM

найдите площадь сечения, если все ребра тетраэдра равны а.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector