В шахматном турнире участвовало 20 шахматистов, причём 6 из них — из России. Каждый шахматист сыграл по одной партии с каждым. За победу в партии шахматист получал 1 очко, за ничью — 0,5 очка, в случае проигрыша — 0 очков.
а) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 14 очков?
б) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 100 очков?
в) Известно, что первое место занял шахматист из России, а второе место — шахматист
из другой страны. Какое наибольшее суммарное количество очков могли набрать российские шахматисты?
а) Шахматисты из России сыграли между собой 15 партий, в которых было разыграно 15 очков. Поэтому сумма не может быть меньше 15.
б) Даже если шахматисты из России выиграли у всех остальных, это дает лишь 
очков, поэтому 
очков быть не может.
в) Назовем Васей победителя турнира, а Джоном — шахматиста, занявшего второе место. Если Джон выиграл у прочих иностранцев и сыграл вничью со всеми россиянами, Вася выиграл у всех, кроме Джона, прочие россияне между собой играли вничью, как и прочие иностранцы, а в остальных партиях россияне всегда побеждали, то у Васи будет 
очков, у Джона 
у прочих россиян по 
а у прочих иностранцев по 
Все условия выполнены, а у россиян 
очков.
Докажем, что больше быть не может. Если россияне потеряли в партиях с иностранцами менее трех очков, то Джон имеет не более 
очков, тогда остальные россияне — максимум по 
и их общее число очков не превосходит 
Противоречие.
ГДЗ для 11 класса по алгебре, учебник Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Группа В. Сканави М.И.
Наш робот распознал:
5.068. В шахматном турнире участвуют 8 шахматистов третьего разряда. 6 второго и 2 перворазрядника. Определить количество таких составов первого тура, чтобы шахматисты одной категории встречались между собой ивет фигур не учитывается.
Из 8 шахматистов третьего разряда можно составить пары С 28 способами; из 6 шахматистов второго разряда можно составить пары
С6 15 способами; два шахматиста первого разряда составляют одну пару Количество таких составов первого тура, чтобы шахматисты одной категории встречались между собой цвет фигур не учитывается, будет равно
Цель работы: решить задачу о шахматном турнире. Исследуя эту исходную задачу, найти общую проблему решения подобных ей задач.
Задача: в шахматном турнире участвовали 5 человек. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
Проблема: Как зависит количество партий в шахматном турнире от числа людей, участвовавших в ней?
1. Каждое следующее число хn равняется половине произведения соответствующего ему числа n и предыдущего числа n-1 точек:
2. Каждое следующее число хn равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу n:
3. . Каждое следующее число хn равняется предыдущему хn-1, сложенному с числом точек, соответствующих ему:
Вывод: При решении задачи о шахматном турнире рассмотрела все возможные случаи и заметила закономерность нахождения ответов. Решая задачу о шахматном турнире, я нашла несколько способов решения этой задачи, проверила гипотезы и доказала их. Поняла идею решения таких задач.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| zadacha.docx | 33.12 КБ |
Предварительный просмотр:
МБОУ «III Мальжагарская основная общеобразовательная школа»
Тема: Задача о шахматном турнире
Руководитель: Павлова С.В.
Цель работы: решить задачу о шахматном турнире. Исследуя эту исходную задачу, найти общую проблему решения подобных ей задач.
Задача: в шахматном турнире участвовали 5 человек. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
Проблема: Как зависит количество партий в шахматном турнире от числа людей, участвовавших в ней?
1. Каждое следующее число х n равняется половине произведения соответствующего ему числа n и предыдущего числа n-1 точек:
1= ; 3= ; 6= ; 10= . Значит, х n = .
2. Каждое следующее число х n равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу n:
1=1; 3=1+2; 6=1+2+3; 10=1+2+3+4. Значит, х n =1+2+3+…+(n-1).
3. . Каждое следующее число х n равняется предыдущему х n-1 , сложенному с числом точек, соответствующих ему:
1=0+1; 3=1+2; 6=3+3; 10=6+4 . Значит х n =х n-1 +(n-1).
Вывод: При решении задачи о шахматном турнире рассмотрела все возможные случаи и заметила закономерность нахождения ответов. Решая задачу о шахматном турнире, я нашла несколько способов решения этой задачи, проверила гипотезы и доказала их. Поняла идею решения таких задач.
Решение исходной задачи.
Задача. В шахматном турнире участвовали 5 человек. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
I способ. Каждый шахматист сыграл 4партии. Всего сыграно 10 партий (произведение 5*4 нужно разделить на два, в противном случае каждая партия будет сосчитана дважды).
II способ. (Графический). Пусть каждый шахматист обозначен точкой, а каждая сыгранная партия стрелкой от одного шахматиста к другому. Если каждую партию считать один раз, то будем иметь 10 партий.
1 2 3 4 5 
Проблема: Как зависит количество партий в шахматном турнире от числа людей, участвовавших в ней?
Число участников (n)
Число партий (x n )
I способ. 1 = ; 3 = ; 6 = ; 10 = ; 15 = ; 21 = .
II способ. 3=1+2; 6=1+2+3; 10= 1+2+3+4; 15=1+2+3+4+5; 21=1+2+3+4+5+6
1. Каждое следующее число х n равняется половине произведения соответствующего ему числа n и предыдущего числа n-1 точек:
1= ; 3= ; 6= ; 10= . Значит, х n = .
2. Каждое следующее число х n равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу n:
1=1; 3=1+2; 6=1+2+3; 10=1+2+3+4. Значит, х n =1+2+3+…+(n-1).
3. Каждое следующее число х n равняется предыдущему х n-1 , сложенному с числом точек, соответствующих ему:
1=0+1; 3=1+2; 6=3+3; 10=6+4 . Значит х n =х n-1 +(n-1).
Пусть n = 6. Тогда фактическое число партий х 6 =15;
1 2 3 4 5 6
Число партий согласно гипотезе:
III. х 6 =х 5 +(6-1)=10+5=15
Заключение по проверке:
гипотеза I получила подтверждение;
гипотеза II получила подтверждение;
гипотеза III получила подтверждение.
- Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Обозначим сумму через S и запишем S=1+2+3+…+98+99+100= =(1+100)+(2+99)+(3+98)+…..(50+51)=101*50=5050, значит S= .
- Докажем гипотезу II.
Пусть на прямой отмечено n точек: А 1 , А 2 , А 3 , …, А n-1 , А n. Тогда число всех отрезков, левый конец которых находится в 1-й точке, равно n-1, во 2-й точке- n-2, в 3-й – n -3 и т.д., в (n-1)-й точке-1. Значит, число всех отрезков, образующихся на прямой при выделении на ней n точек, будет равняться сумме последовательных натуральных чисел от 1 до (n-1), т.е.
- Таблица результатов.
Число участников (n)
Число партий (x n )
1=0+1; 3=1+2; 6=3+3; 10=6+4.
Значит действительно, x n =x n-1 +(n-1). Что и требовалось доказать.
Вывод: При решении задачи о шахматном турнире рассмотрела все возможные случаи и заметила закономерность нахождения ответов. Решая задачу о шахматном турнире, я нашла несколько способов решения этой задачи, проверила гипотезы и доказала их. Поняла идею решения таких задач.
1. Каждое следующее число х n равняется половине произведения соответствующего ему числа n и предыдущего числа n-1 точек:
2. Каждое следующее число х n равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу n:
Значит, х n =1+2+3+…+(n-1).
3. Каждое следующее число х n равняется предыдущему х n-1 , сложенному с числом точек, соответствующих ему:
Значит х n =х n-1 +(n-1).
- Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе математики
- классов:-М.: Просвещение, 1986.-96с.:ил.
- Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика : Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5-6 кл. общеобразоват. учреждений. -5-е изд.-М.: просвещение, 2000.-95с.: ил.
- Математика в школе- журнал 2004 изд. «школьная пресса»
- Энциклопедия для детей т.11 Математика/Глав. ред. М.Д. Аксёнова-М.:
МБОУ «III Мальжагарская основная общеобразовательная школа»
Тема: Задача о шахматном турнире
Руководитель: Павлова С.В.
Цель работы: решить задачу о шахматном турнире. Исследуя эту исходную задачу, найти общую проблему решения подобных ей задач.
Задача: в шахматном турнире участвовали 5 человек. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
Проблема: Как зависит количество партий в шахматном турнире от числа людей, участвовавших в ней?
1. Каждое следующее число х n равняется половине произведения соответствующего ему числа n и предыдущего числа n-1 точек:
1= ; 3= ; 6= ; 10= . Значит, х n = .
2. Каждое следующее число х n равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу n:
1=1; 3=1+2; 6=1+2+3; 10=1+2+3+4. Значит, х n =1+2+3+…+(n-1).
3. . Каждое следующее число х n равняется предыдущему х n-1 , сложенному с числом точек, соответствующих ему:
1=0+1; 3=1+2; 6=3+3; 10=6+4 . Значит х n =х n-1 +(n-1).
Вывод: При решении задачи о шахматном турнире рассмотрела все возможные случаи и заметила закономерность нахождения ответов. Решая задачу о шахматном турнире, я нашла несколько способов решения этой задачи, проверила гипотезы и доказала их. Поняла идею решения таких задач.
1. Каждое следующее число х n равняется половине произведения соответствующего ему числа n и предыдущего числа n-1 точек:
2. Каждое следующее число х n равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу n:
Значит, х n =1+2+3+…+(n-1).
3. Каждое следующее число х n равняется предыдущему х n-1 , сложенному с числом точек, соответствующих ему:
Значит х n =х n-1 +(n-1).
- Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Обозначим сумму через S и запишем S=1+2+3+…+98+99+100= =(1+100)+(2+99)+(3+98)+…..(50+51)=101*50=5050, значит S= .
- Докажем гипотезу II.
Пусть на прямой отмечено n точек: А 1 , А 2 , А 3 , …, А n-1 , А n. Тогда число всех отрезков, левый конец которых находится в 1-й точке, равно n-1, во 2-й точке- n-2, в 3-й – n -3 и т.д., в (n-1)-й точке-1. Значит, число всех отрезков, образующихся на прямой при выделении на ней n точек, будет равняться сумме последовательных натуральных чисел от 1 до (n-1), т.е.
