РЕШЕНИЕ: Параллельная плоскость строится путем построение перпендикуляра от имеющейся плоскости, с откладываением на данном перпендикуляре нужного расстояния и построения необходимой плоскости через полученную точку.
Далее приводится поэтапное графическое решение варианта №17 из данного списка вариантов.
Задачу решаем в следующей последовательности:
Рис.1
Строим плоскость треугольника АВС по заданным координатам варианта №17 (см. рис.1):
A (70, 45, 60),
B (40, 55, 0),
C (0, 10, 45).
Построить свой треугольник онлайн можно перейдя по ссылке.
Рис.2
Затем строим в плоскости треугольника АВС фронталь и горизонталь (см. рис.2).
Фронталь это линия, которая параллельна оси ОХ на горизонтальной плоскости проекции (нижняя часть).
А горизонталь — линия, которая параллельна оси ОХ на фронтальной плоскости проекции (верхняя часть).
Данные линии проводятся через вершины треугольника (через точки А, B, C).
В нашем случае через вершину А мы проводим фронталь AF, а через вершину С проводим горизонталь CH.
Рис.3
Далее необходимо через одну из вершин плоскости треугольника АВС, через которые проходят фронталь и горизонталь, или через точку их пересечения, восстановить перпендикуляр плоскости (см. рис.3).
Вершин плоскости треугольника АВС, через которые проходят фронталь и горизонталь в нашем случае являются точки А и С, точку пересечения фронтали и горизонтали рассматривать не будем.
Берем одну из этих точек, например точку С, и из нее восстановим перпендикуляр плоскости. При этом горизонтальную проекцию перпендикуляра проводим перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали C1H1, а фронтальную проекцию перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали C2H2.
Рис.4
Теперь нужно определить действительную длину данного перпендикуляра, методом прямоугольного треугольника (см. рис.4).
Берем на нашем перпендикуляре произвольную точку Е и определяем способом прямоугольного треугольника действительную длину полученного отрезка перпендикуляра. Определяем расстояние по вертикали от точки E до точки C на какой-либо плоскости проекций.
Например на горизонтальной (нижней) плоскости проекции. Откладываем это расстояние перпендикулярно отрезку C2E2 на противоположной плоскости проекции (в нашем случа на фронтальной) от любой из вершин (например от точки C2) и получили нулевую точку C0.
Расстояние от точки C0 до точки E2 и является действительной длиной проведенного нами перпендикуляра CE.
Рис.5
Далее нужно на полученной действительной величине перпендикуляра отложить нужное нам расстояние, на которое должна отстоять паральлельная плоскость от плоскости треугольника АВС (см. рис.5).
На натуральной величине построенного отрезка перпендикуляра находим точку L0, расположенную на заданном расстоянии (например 20 мм) от плоскости треугольника, от точки вершины, (в нашем случае точки C).
После того как мы получили точку L0, необходимо построить проекции этой точки (L2 и L1 на проекциях перпендикуляра.
Рис.6
Последним шагом будет построение проекций искомой плоскости (см. рис.6)
После того как мы построили точки L1 и L2, необходимо провести через них проекции искомой плоскости, задаем ее двумя пересекающимися прямыми, соблюдая условие параллельности плоскостей.
Условие: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Следовательно нужную нам плоскость задаем двумя прямыми, параллельными сторонам треугольника АВС (в нашем случае сторонам ВС и АС).
ЗАДАЧА№1
Построить проекции равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, если известно, что катет ВС принадлежит прямой KL.
Исходными данными задачи является точка А – вершина треугольника и прямая KL, на которой расположен его катет ВС. Прямая KL – линия уровня (параллельна плоскости проекций П1 или П2).
РЕШЕНИЕ:
1) По заданным координатам в таблице с вариантами строим проекции точек А, Р и прямой KL, в нашей задаче KL параллельна П1 – т.е. горизонталь (координаты по оси z равны 30).
2) Из точки А опускаем перпендикуляр на прямую KL (так как искомый треугольник прямоугольный, а вершина А задана).
Отмечаем основание перпендикуляра – точку В (В1). Фронтальную проекцию точки В (В2) получаем по линии связи на К2L2.
3) Определяем натуральную величину катета АВ треугольника АВС способом прямоугольного треугольника: для этого на фронтальной проекции берем отрезок равный разнице координат проекций точек А и В – дельта z, и под прямым углом к горизонтальной проекции отрезка AB (A1B1) откладываем отрезок равный дельта z, получаем точку А0. В1А0 – будет натуральной величиной катета (отрезка) АВ.
4) На прямой KL от точки В в любую сторону откладываем натуральную величину катета АВ (так как в равнобедренном прямоугольном треугольнике оба катета равны). В нашем случае откладываем на горизонтальной проекции K1L1 – т.к. KL – горизонталь и проецируется в натуральную величину именно на плоскость П1. Получаем точку С (сначала проекцию С1 и по линии связи C2).
Соединяем точку А с точкой С. Треугольник АВС – искомый.
ЗАДАЧА№3
Определить натуральную величину расстояния от точки Р до плоскости.
РЕШЕНИЕ:
Кратчайшим расстоянием от точки до плоскости является отрезок перпендикуляра.
1) На основании теоремы о перпендикуляре к плоскости горизонтальная проекция перпендикуляра из точки Р проводится перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h. Независимо от горизонтальной проекции строится его фронтальная проекция. Для этого по плоскости найденного треугольника АВС проведена фронталь ƒ. Фронтальная проекция перпендикуляра должна быть перпендикулярна фронтальной проекции фронтали ƒ.
2) Прямая перпендикуляра из точки Р заключена в горизонтальнопроецирующую плоскость γ1. Затем определена линия пересечения 2-3 вспомогательной плоскости γ с заданной плоскостью треугольника АВС.
В пересечении линии 2-3 с прямой n найдена искомая точка Q. Сначала определяется фронтальная проекция Q2, а затем по линии проекционной связи определена ее горизонтальная Q1 проекция.
3) Натуральная величина перпендикуляра PQ определена способом прямоугольного треугольника, аналогично как в задаче №1 определяли натуральную величину катета АВ.
Эпюра с задачами 1 и 3 — вариант 24
ЗАДАЧА №2.
Построить линию пересечения двух плоскостей заданных треугольниками α(DEF) и β(RMN), координаты вершин которых заданы в таблице исходных данных.
РЕШЕНИЕ:
1) По заданным координатам строим проекции всех точек, получаем проекции треугольников DEF и RMN.
2) Решение задачи можно упростить, если вспомогательные проецирующие плоскости провести через прямые, задающие плоскость.
Так точка K этой линии определена с помощью горизонтальнопроецирущей плоскости δ1, проведенной через сторону RM треугольника MNR. Именно линия RM является линией пересечения плоскости треугольника β(RMN) с вспомогательной плоскостью δ. Та же плоскость пересекает треугольник α(DEF) по линии 1-2.
Точка K, общая для трех плоскостей (двух заданных α и β и вспомогательной δ), находится в пересечении прямых 1-2 и RM.
Следует отметить, что если вспомогательная плоскость δ горизонтальнопроецирущая, то сначала определяется фронтальная проекция точки K2, т.е. K2 = 12-22∩R2M2, а затем по линии проекционной связи находится K1 – горизонтальная проекция точки K.
3) Аналогично, заключая сторону DE во фронтальнопроецирующую плоскость γ2, находится точка L. Прямая KL – линия пересечения заданных плоскостей.
4) Для определения видимости этих треугольников достаточно установить относительное расположение одной из сторон одного треугольника относительно стороны другого треугольника. Таким образом, вопрос видимости плоскостей сводится к определению видимости двух скрещивающихся прямых.
Определим видимость стороны DE треугольника DEF относительно стороны MN треугольника RMN на фронтальной плоскости проекции. Для этого проведем луч зрения s перпендикулярно П2 через точку пересечения фронтальных проекций D2E2 и M2N2. В пересечении D2E2 и M2N2 расположены две конкурирующие по видимости точки (52 и 42). Точка 4 принадлежит стороне MN, а точка 5 – стороне DE. По горизонтальной проекции устанавливаем, что луч зрения сначала встретит D1E1 в точке 51, а затем M1N1 в точке 41. Следовательно, фронтальная проекция D2E2 – видима.
Аналогично определяется видимость треугольников и на горизонтальной проекции. Луч зрения при этом следует провести перпендикулярно к П1 через две конкурирующие на П1 точки скрещивающихся прямых (например, луч s / , проходящий через точки 1 и 6, соответственно принадлежащие прямым MR и ЕF).
Эпюр с задачей №2
ЗАКАЗЫВАЙТЕ ЧЕРТЕЖИ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ МГУПС
тел. (whatsup) 8-950-790-65-90
1.1. Условие задания
Построить следы плоскости, заданной ∆BCD, и определить расстояние от точки А до заданной плоскости методом прямоугольного треугольника (координаты точек А, В, С и D см. в Таблице 1 раздела Задания);
1.2. Пример выполнения задания № 1
Первое задание представляет комплекс задач по темам:
1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость: по известным координатам трех точек B, C, D построить горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD;
2. Следы прямой, следы плоскости, свойства принадлежности прямой плоскости: построить следы плоскости, заданной ∆BCD;
3. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, перпендикулярность прямой и плоскости, пересечение плоскостей, метод прямоугольного треугольника: определить расстояние от точки А до плоскости ∆BCD.
1.2.1. По известным координатам трех точек B, C, D построим горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD (Рисунок 1.1), для чего необходимо построить горизонтальные и фронтальные проекции вершин ∆BCD, а затем одноименные проекции вершин соединить.
Известно, что следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с плоскостью проекций.
У плоскости общего положения 3 следа: горизонтальный, фронтальный и профильный.
Для того чтобы построить следы плоскости, достаточно построить следы (горизонтальный и фронтальный) любых двух прямых, лежащих в этой плоскости, и соединить их между собой. Таким образом, след плоскости (горизонтальный или фронтальный) будет однозначно определен, поскольку через две точки на плоскости (в данном случае этими точками будут следы прямых) можно провести прямую, и при том, только одну.
Основанием для такого построения служит свойство принадлежности прямой плоскости: если прямая принадлежит заданной плоскости, то ее следы лежат на одноименных следах этой плоскости.
Следом прямой называется точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций.
Горизонтальный след прямой лежит в горизонтальной плоскости проекций, фронтальный – во фронтальной плоскости проекций.
Рассмотрим построение горизонтального следа прямой DB, для чего необходимо:
1. Продолжить фронтальную проекцию прямой DB до пересечения с осью X, точка пересечения М2 является фронтальной проекцией горизонтального следа;
2. Из точки М2 восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой DB или ее продолжением. Точка пересечения М1 и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа (Рисунок 1.1), которая совпадает с самим следом М.
Аналогично выполняется построение горизонтального следа отрезка СВ прямой: точка М’.
Чтобы построить фронтальный след отрезка CB прямой, необходимо:
1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой CB до пересечения с осью X, точка пересечения N1 является горизонтальной проекцией фронтального следа;
2. Из точки N1 восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с фронтальной проекцией прямой CB или ее продолжением. Точка пересечения N2 и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.
Соединив точки M′1 и M1 отрезком прямой, получим горизонтальный след плоскости απ1. Точка αx пересечения απ1 с осью X называется точкой схода следов. Для построения фронтального следа плоскости απ2 необходимо соединить фронтальный след N2 с точкой схода следов αx
Рисунок 1.1 — Построение следов плоскости
Алгоритм решения этой задачи может быть представлен следующим образом:
1.2.2. Для решения второй части первого задания необходимо знать, что:
- расстояние от точки А до плоскости ∆BCD определяется длиной перпендикуляра, восстановленного из этой точки на плоскость;
- любая прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости;
- на эпюре проекции прямой, перпендикулярной плоскости, перпендикулярны наклонным проекциям горизонтали и фронтали этой плоскости или одноименным следам плоскости (рис. 1.2) (см. в лекциях Теорему о перпендикуляре к плоскости).
Чтобы найти основание перпендикуляра, необходимо решить задачу на пересечение прямой (в данной задаче такой прямой является перпендикуляр к плоскости) с плоскостью:
1. Заключить перпендикуляр во вспомогательную плоскость, в качестве которой следует взять плоскость частного положения (горизонтально-проецирующую или фронтально-проецирующую, в примере в качестве вспомогательной плоскости взята горизонтально-проецирующая γ, то есть перпендикулярная к π1, ее горизонтальный след γ1 совпадает с горизонтальной проекцией перпендикуляра);
2. Найти линию пересечения заданной плоскости ∆BCD со вспомогательной γ (MN на рис. 1.2);
3. Найти точку пересечения линии пересечения плоскостей MN с перпендикуляром (точка К на рис. 1.2).
4. Для определения истинной величины расстояния от точки А до заданной плоскости ∆BCD следует воспользоваться методом прямоугольного треугольника: истинная величина отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а другим – разность расстояний от его концов до плоскости проекций, в которой ведётся построение.
5. Определите видимость участков перпендикуляра методом конкурирующих точек. На примере — точки N и 3 для определения видимости на π1, точки 4, 5 — для определения видимости на π2.
Рисунок 1.2 — Построение перпендикуляра к плоскости 
Рисунок 1.3 — Пример оформления контрольного задания №1
