Когда существуют условия деления отрезка в определенном отношении, необходимо уметь определять координаты точки, служащей разделителем. Выведем формулу для нахождения этих координат, поставив задачу на плоскости.
Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, на плоскости
Исходные данные: задана прямоугольная система координат O x y и две лежащие на ней, несовпадающие точки с заданными координатами A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) . А также задана точка С , делящая отрезок А В в отношении λ (некоторое положительное действительное число). Необходимо определить координаты точки С : x C и y C .
Перед тем, как приступить к решению поставленной задачи, немного раскроем смысл заданного условия: «точка С , делящая отрезок А В в отношении λ ». Во-первых, это выражение свидетельствует о том, что точка С лежит на отрезке А В (т.е. между точками А и В ). Во-вторых, понятно, что согласно заданному условию отношение длин отрезков А С и С В равно λ . Т.е. верно равенство:
В этом случае точка А – начало отрезка, точка В – конец отрезка. Если бы было задано, что точка С делит в заданном отношении отрезок В А , тогда верным было бы равенство: .
Ну и совсем очевидный факт, что если λ = 1 , то точка С является серединой отрезка А В .
Решим поставленную задачу при помощи векторов. Отобразим произвольно в некой прямоугольной системе координат точки А , В и точку С на отрезке А В . Построим радиус-векторы указанных точек, а также векторы A C → и C B → . Согласно условиям задачи, точка С делит отрезок А В в отношении λ .
Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = ( x A , y A ) и O B → = ( x B , y B ) .
Определим координаты вектора : они будут равны координатам точки С , которые и требуется найти по условию задачи.
Используя операцию сложения векторов, запишем равенства: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → — O C →
По условию задачи точка С делит отрезок А В в отношении λ , т.е. верно равенство A C = λ · C B .
Векторы A C → и C B → лежат на одной прямой и являются сонаправленными. λ > 0 по условию задачи, тогда, согласно операции умножения вектора на число, получим: A C → = λ · C B → .
Преобразуем выражение, подставив в него : C B → = O B → — O C → .
A C → = λ · ( O B → — O C → ) .
Равенство O C → = O A → + A C → перепишем как O C → = O A → + λ · ( O B → — O C → ) .
Используя свойства операций над векторами, из последнего равенства следует: O C → = 1 1 + λ · ( O A → + λ · O B → ) .
Теперь нам остается непосредственно вычислить координаты вектора O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → .
Выполним необходимые действия над векторами O A → и O B → .
O A → = ( x A , y A ) и O B → = ( x B , y B ) , тогда O A → + λ · O B → = ( x A + λ · x B , y A + λ · y B ) .
Таким образом, O C → = 1 1 + λ · ( O A → + λ · O B → ) = ( x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ ) .
Резюмируя: координаты точки С , делящей отрезок А В в заданном отношении λ определяются по формулам : x C = x A + λ · x B 1 + λ и y C = у A + λ · y B 1 + λ .
Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, в пространстве
Исходные данные: прямоугольная система координат O x y z , точки с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) .
Точка С делит отрезок А В в отношении λ . Необходимо определить координаты точки С .
Используем ту же схему рассуждений, что и в случае выше на плоскости, придем к равенству:
O C → = 1 1 + λ · ( O A → + λ · O B → )
Векторы и являются радиус-векторами точек А и В , а значит:
O A → = ( x A , y A , z A ) и O B → = ( x B , y B , z B ) , следовательно
O C → = 1 1 + λ · ( O A → + λ · O B → ) = ( x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ )
Таким образом, точка С , делящая отрезок А В в пространстве в заданном отношении λ , имеет координаты: ( x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ )
Рассмотрим теорию на конкретных примерах.
Исходные данные: точка С делит отрезок А В в отношении пять к трем. Координаты точек А и В заданы A ( 11 , 1 , 0 ) , B ( — 9 , 2 , — 4 ) .
Решение
По условию задачи λ = 5 3 . Применим полученные выше формулы и получим:
x A + λ · x B 1 + λ = 11 + 5 3 · ( — 9 ) 1 + 5 3 = — 3 2
y A + λ · y B 1 + λ = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8
z A + λ · z B 1 + λ = 0 + 5 3 · ( — 4 ) 1 + 5 3 = — 5 2
Ответ: C ( — 3 2 , 13 8 , — 5 2 )
Исходные данные: необходимо определить координаты центра тяжести треугольника А В С .
Заданы координаты его вершин: A ( 2 , 3 , 1 ) , B ( 4 , 1 , — 2 ) , C ( — 5 , — 4 , 8 )
Решение
Известно, что центром тяжести любого треугольника является точка пересечения его медиан (пусть это будет точка М ). Каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1 , считая от вершины. Исходя из этого, найдем ответ на поставленный вопрос.
Допустим, что А D – медиана треугольника А В С . Точка М – точка пересечения медиан, имеет координаты M ( x M , y M , z M ) и является центром тяжести треугольника. М , как точка пересечения медиан, делит отрезок А D в отношении 2 к 1 , т.е. λ = 2 .
Найдем координаты точки D . Так как A D – медиана, то точка D – середина отрезка В С . Тогда, используя формулу нахождения координат середины отрезка, получим:
x D = x B + x C 2 = 4 + ( — 5 ) 2 = — 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + ( — 4 ) 2 = — 3 2 z D = z B + z C 2 = — 2 + 8 2 = 3
Вычислим координаты точки М :
x M = x A + λ · x D 1 + λ = 2 + 2 · ( — 1 2 ) 1 + 2 = 1 3
y M = y A + λ · y D 1 + λ = 3 + 2 · ( — 3 2 ) 1 + 2 = 0
z M = z A + λ · z D 1 + λ = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3
24*. Разделить отрезок АВ точкой С в отношении AC/CB=3/2 (рис. 22, а).
Решение. Так как делению отрезка в каком-либо отношении соответствует такое же деление его проекций, то делим (рис. 22, 6) проекцию ab (можно было бы начать и с фронт, проекции) на 5 частей. Для этого через точку а проводим произвольную прямую и откладываем на ней пять каких-либо равных между собой отрезков.
Точку 5 соединяем с точкой b. Через точку 3 проводим прямую, параллельную прямой b -5, до пересечения с аb в точке с. По точке с строим проекцию с'. В точке С отрезок AB разделен в отношении 3 : 2, считая от точки А.
25. Дан отрезок АВ (рис. 23). Найти точку С, делящую расстояние между фронтальным (N) и горизонтальным (М) следами прямой в отношении CN :СМ = 1 : 3.
Если точка М(х;у) лежит на прямой, проходящей через две данные точки М1(х1; y1), М2(х2; y2), и дано отношение λ = M1M/MM2, в котором точка М делит отрезок M1M2 , то координаты точки М
определяются по формулам
Если точка М является серединой отрезка M1M2 , то ее координаты определяются по формулам
86. Даны концы A (3; -5) и 6 (-1; 1) однородного стержня. Определить координаты его центра тяжести.
87. Центр тяжести однородного стержня находится в точке M (1; 4), один из его концов в точке Р(-2; 2). Определить кооодинаты точки Q другого конца этого стержня
88. Даны вершины треугольника A (1; -3), 6 (3; -5) и С(-5; 7). Определить середины его сторон.
89. Даны две точки A (3; — 1) и B (2; 1). Определить:
1) координаты точки М, симметричной точке A относительно точки B;
2) координаты точки N, симметричной точке В относительно точки A.
90. Точки М(2; -1), N (-1; 4) и Р(-2; 2) являются серединами сторон треугольника. Определить его вершины.
91. Даны три вершины параллелограмма A (3; -5), B (5; -3), С(- 1; 3). Определить четвертую вершину D, противоположную B.
92. Даны две смежные вершины параллелограмма A (-3; 5), B (1; 7) и точка пересечения его диагоналей М(1; 1). Определить две другие вершины.
93. Даны три вершины A (2; 3), 6 (4; -1) и С(0; 5) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D.
94. Даны вершины треугольника A (1; 4), B (3; -9), С(-5; 2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины B.
95. Отрезок, ограниченный точками A (1;-3) и B (4; 3), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.
96. Даны вершины треугольника A (2; -5), B (1; -2), C (4; 7). Найти точку пересечения со стороной АС биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.
97. Даны вершины треугольника A (3; -5), B (-3; 3) и С(-1; -2). Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине A.
98. Даны вершины треугольника A ( — 1; -1), B (3; 5), С(-4; 1). Найти точку пересечения с продолжением стороны ВС биссектрисы его внешнего угла при вершине А.
99. Даны вершины треугольника A (3; -5), B (1; — 3), С(2; -2). Определить длину биссектрисы его внешнего угла при вершине B.
100. Даны три точки A (1; -1), B (3; 3) и С(4; 5), лежащие на одной прямой. Определить отношение λ, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
101. Определить координаты концов А и B отрезка, который точками Р(2; 2) и Q (1; 5) разделен на три равные части.
102. Прямая проходит через точки М1(-12; -13) и М2(- 2; -5). На этой прямой найти точку, абсцисса которой равна 3.
103. Прямая проходит через точки М(2; -3) и N (-6; 5). На этой прямой найти точку, ордината которой равна -5.
104. Прямая проходит через точки А(7; -3) и B (23;. -6). Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс.
105. Прямая проходит через точки A (5; 2) и B (-4; -7). Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.
106. Даны вершины четырехугольника A (-3; 12), B (3; -4), С(5; -4) и D (5; 8). Определить, в каком отношении его диагональ АС делит диагональ BD.
107. Даны вершины четырехугольника A (-2; 14), B (4; -2), С(6; -2) и D (6; 10). Определить точку пересечения его диагоналей АС и BD.
108. Даны вершины однородной треугольной пластинки A (x1; у1), B (x2; у2) и С(x3; у3). Определить координаты ее центра тяжести,
Указание. Центр тяжести находится в точке пересечения медиан.
109. Точка М пересечения медиан треугольника лежит на оси абсцисс, две вершины его — точки A (2; -3) и B (-5; 1), третья вершина С лежит на оси ординат. Определить координаты точек М и С.
110. Даны вершины однородной треугольной пластинки А(х1; y1), B (x2; у2) и С(x3; у3). Если соединить середины ее сторон, то образуется новая однородная треугольная пластинка. Доказать, что центры тяжести Обеих пластинок совпадают.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 108.
111. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 12, в которой сделан квадратный вырез, прямые разреза проходят через центр квадрата, оси
координат направлены по ребрам пластинки (рис. 4). Определить центр тяжести этой пластинки.
112. Однородная пластинка имеет форму прямоугольника со сторонами, равными а и b, в котором сделан прямоугольный вырез; прямые разреза проходят через центр, оси координат направлены по ребрам пластинки (рис. 5). Определить центр тяжести этой пластинки.
113. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2а, от которого отрезан треугольник; прямая разреза соединяет середины двух смежных сторон, оси координат направлены по ребрам пластинки (рис. 6). Определить центр тяжести пластинки.
114. В следующих точках А(х1; y1), B (x2; у2) и С(x3; у3) сосредоточены массы m, n и р. Определить координаты центра тяжести этой системы трех масс.
115. Точки А (4; 2), В (7; -2) и С(1; 6) являются вершинами треугольника, сделанного из однородной проволоки. Определить центр тяжести этого треугольника.