No Image

Задачи на уравнение сферы

9 просмотров
11 марта 2020

1.1 Напишите уравнение сферы с центром A, проходящей через точку N, если А(-2; 2; 0), N (5; 0; -1); А (-2; 2; 0), N (0; 0; 0); А (0; 0; 0), N (5; 3; 1)
РЕШЕНИЕ

1.2 Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.
РЕШЕНИЕ

1.1 Напишите уравнение сферы радиуса R с центром A, если А (2; -4; 7), R = 3; А (0; 0; 0), R = √2; А (2; 0; 0), R = 4.
РЕШЕНИЕ

1.2 Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен R. Найдите радиус получившегося сечения; площадь боковой поверхности конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием полученное сечение
РЕШЕНИЕ

1.3 Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точка касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.
РЕШЕНИЕ

1.1 Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.
РЕШЕНИЕ

1.2 Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.
РЕШЕНИЕ

2.1 Площадь сферы равна 324 см2. Найдите радиус
РЕШЕНИЕ

2.2 Шар и цилиндр имеют равные объемы, а диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.
РЕШЕНИЕ

2.1 Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр, равна 9 м2. Найдите площадь сферы.
РЕШЕНИЕ

2.2 Используя формулу площади сферы, докажите, что площади двух сфер пропорциональны квадратам их радиусов.
РЕШЕНИЕ

2.3 Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см и 12 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Найдите площадь сферы.
РЕШЕНИЕ

2.1 Найдите площадь сферы, радиус которой равен 6 см; 2 дм; √2 м; 2√3 см.
РЕШЕНИЕ

Разделы: Математика

Класс: 11

Цель: Определение шара и сферы (шаровой поверхности) и связанных с ним понятий (центр, радиусы, диаметры, диаметрально противоположные точки). Рассмотреть уравнение сферы.

Оборудование: плакаты, модели шара, сферы.

2) Проверка домашнего задания.

3) Повторить определение окружности, уравнение окружности. Решить устно две задачи.

2. Изучение нового материала.

1) Определение сферы и шара (на моделях и рисунках) №574 (а).

2) Уравнение сферы.

Читайте также:  Сообщение от анонима с загрузкой

3) Решение устных примеров.

3. Закрепление материала. № 576 (а), 576 (б)-С, 578 (г), 577 (а), 579 (а, б)

4. Домашнее задание: параграф 3. П 58,59. №576 (б), 577 (б), 579(в, г), 574(б).

6. Решение задач повышенной сложности.

1) Организационный момент

2) Проверка домашнего задания.

3) Учитель: Ребята, вам на дом было повторить определение окружности, круга, расстояние между двумя точками в пространстве. Уравнение окружности.

Показываю плакат окружности, круга и повторяем определение.

Ученики:

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Учитель: Напишите, пожалуйста, на доске уравнение окружности (x-x) 2 + (y-y) 2 = R 2 , где (x; y)- центр окружности, R- радиус, (x; y)- координата центра окружности.

Устно. Найти уравнение окружности?

1) (x-4) 2 +(y-3) 2 =9. 2) x 2 + y 2 =4. 3) (0-4) 2 +(0-3) 2 =R 2 . 4) 16+9=R 2 .

5)25=R 2 . 6) R=5. 7)(x+4) 2 +(y-3) 2 =25.

Учитель: Найдите расстояние М1 М2, если М1 (-3; 0; 4), М2 (0; 6; 5). М1 М2 = (0-3) 2 + (6-0) 2 +(5-4) 2 = 46.

Следовательно, d= (x-x) 2 +(y-y) 2 + (z-z) 2 .

2. Объяснение нового материала. Сфера.

1) Учитель: Геометрия изучает форму и взаимное расположение фигур в пространстве. Мы живем в мире трех измерений.

Окружность и круг это пространственные тела или плоские?

В какое геометрическое тело превратится окружность (круг), если попадет в пространство?

Ученики: В сферу и шар.

Учитель: (показывает плакаты) Остановимся на сфере.

1). Сферу можно получить вращением полуокружности вокруг ее диаметра как оси.

2). Границы шара называется шаровой поверхностью или сферой.

3). Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Обозначение. (Рассказываю с помощью плаката) : Радиус, диаметр, центр сферы D=2R, обозначение сферы .

1. Шар – может быть получен вращением полукруга вокруг диаметра как оси.

2. Шаром называется тело, ограниченное сферой.

3. Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

Эта точка называется Центром шара. А данное расстояние – радиусом шара. Отрезок соединяющий две точки шаровой поверхности проходящей через ее центр – называется диаметром.

А теперь запишем число, тему: п. 48. Шар. Сфера.

В тетрадях рисуем один чертеж, пишем определения и обозначения. Пишем три определения шара и сферы. (под диктовку)

Читайте также:  Garmin vivofit 2 hrm

3. Закрепление. №574 (а, б)

Дано: сфера, т О – центр, R – радиус т.А и В € . а) R= 50 см, АВ= 40 см б) R=15 мм, АВ=18 мм.

Найти: ОМ.

Решение. а) ОА=ОВ= R=50 см. Следовательно треугольник АОВ – равнобедренный —> ОМ – высота (по свойству медианы в равнобедренном треугольнике). Рассмотрим треугольник АОМ (LО=90 0 ). По теореме Пифагора

ОМ= v АО 2 – АМ 2 = v 2500-400 = v 2100 =10 v21 (см).

Самостоятельно б) ОМ= v 225-81 = v 144= 12 (мм) Ответ: 10 v21 см; 12 мм.

Уравнение сферы. П 59.

Пусть задана прямоугольная система координат Охуz и дана некоторая поверхность. Уравнение с тремя переменными х, у, z, называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки F и не удовлетворяют координаты никакой точки не лежащей на этой поверхности.

Дано: прямоугольная система координат Охуz сфера , h – радиус точка С (х, у, z) – центр сферы.

Написать уравнение сферы.

Решение: Возьмем произвольную т М (x;y;z). Расстояние от М до С, МС= v (x-x) 2 +(y-y) 2 + (z-z) 2 если точка М € , то МС= R или МС 2 = R 2 , т.е. координаты т. М удовлетворяют уравнению

Если М € , то МС 2 = R 2 и координаты (т. М) не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямолинейной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(х, у, z) имеет вид

5. Закрепление по теме: уравнение сферы №576(а, б), 578, 577 (а).

№576. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в центре А, если а) А(2;-4; 7), R=3.

Ответ (x-2) 2 +(y+4) 2 + (z-7) 2 =9 2 .

Б) А(0;0;0) R= v 2. Ответ: x 2 +y 2 + z 2 =2.

№578 а) А(0;0;0) , R=7. Б) А(3; -2; 0), R= v 2.

№577 а) Дано: сфера , т. А – центр, N= ?, А(-2; 2; 0), N(5; 0; -1)

Найти: уравнение сферы.

(5-2) 2 +(0-2) 2 + (-1-0) 2 = R 2 .

(x+2) 2 +(y-2) 2 + z 2 =54.

Учитель: Ребята, как записывается уравнение сферы, если ее центр лежит в т (х, 0, 0), а радиус равен R.

(x-x) 2 +y 2 + z 2 =R 2 .

x 2 – 2xx+x 2 +y 2 +z 2 = R 2 .

x 2 – 2xx +y 2 +z 2 = R 2 -x 2 – уравнение сферы.

Цель: научиться составлять уравнение сферы, решать задачи с использованием уравнения сферы.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения:

– методические рекомендации к практической работе № 61.

Виды самостоятельной работы:

– составление уравнения сферы;

– решение задач с помощью уравнения сферы.

Краткая теоретическая справка

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Читайте также:  Ремонт зарядного устройства для макбука

Данная точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы.

Пусть центр сферы, точка О, имеет координаты (x;y;z), радиус сферы равен R. Если точка М(x; y; z) лежит на данной сфере, то расстояние между точками О и М равно:

.

Так как ОМ = R, то

,

.

Последнее уравнение называют уравнением сферы радиуса R с центром в точке (x;y;z).

Практические задания для аудиторной работы

1. Точки А(3; -5; 6) и В(5; 7; -1) являются концами одного из диаметров сферы. Составьте уравнение этой сферы.

2. Дана сфера . Найти координаты точек пересечения сферы с прямой, проходящей через начало координат и точку А(4; 5; 3).

3. Даны точки А(-1; 3; 2), В(0; 3; 1), С(2; -2; 0), D(-4; 2; 2), Е(5; 7; 8). Какие из этих точек принадлежат сфере с центром О (-2; 1; 0) и радиусом 3?

Практические задания для самостоятельной работы

1. Составьте уравнение сферы с центром О (2; 3; 4) и радиусом R=5.

2. Точки А(7; -2; 4) и В(9; -8; 6) лежат на поверхности сферы и на прямой, проходящей через её центр. Составьте уравнение сферы.

1. Составьте уравнение сферы с центром О (-3; 0; 4) и радиусом .

2. Сфера имеет центр в точке С(2; -1; 3) и проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы.

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

– порядковый номер и наименование практической работы;

– цель практической работы;

– ход выполнения работы;

– ответы на контрольные вопросы.

1. Что называют сферой?

2. Вращением какой плоской фигуры можно подучить сферу?

3. Что называют диаметром сферы?

4. Какая фигура получается при пересечении сферы и плоскости, двух сфер?

5. Запишите уравнение сферы.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.

studopedia.org – Студопедия.Орг – 2014-2019 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.001 с) .

Комментировать
9 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector