Отображения с со свойством
впервые рассматривалось Липшицем в 1864 для вещественных функций, в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. В последствии условием Липшица стало принято называть это условие только при α = 1 , а при α условием Гёльдера.
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Условие Липшица" в других словарях:
Условие Гёльдера — Липшицево отображение отображение между метрическими пространствами X и Y, удовлетворяющее условию Для некоторой вещественной константы L и всех . Здесь обозначает метрику в пространстве X. Это условие часто называют условием Липшица … Википедия
ЛИПШИЦА УСЛОВИЕ — ограничение на поведение приращения функции. Если для любых точек хи х , принадлежащих отрезку [а, Ь], приращение функции f удовлетворяет неравенству где и М нек рая постоянная, то говорят что функция f (х).на отрезке [а, b]удовлетворяет условию… … Математическая энциклопедия
Липшица условие — ограничение на поведение приращения функции. Если для любых точек х и х , принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенству ∣f(x) f(x )∣ ≤ М∣х х ∣α где 0 Большая советская энциклопедия
ЛИПШИЦА УСЛОВИЕ — интегральное ограничение на поведение приращения функции в интегральной метрике. Функция f(x).из пространства с удовлетворяет на отрезке [ а, b]интегральному Липшица условию порядка a>0 с постоянной М>0, если при всех В этом случае пишут… … Математическая энциклопедия
Условие Гельдера — Показатель Гёльдера α (известен также как показатель Липшица) характеристика гладкости функции. Локальный (точечный) показатель Гёльдера характеризует локальную гладкость (локальную нерегулярность) функции в точке. В общем случае показатель… … Википедия
Гёльдера условие — Липшицево отображение отображение между метрическими пространствами X и Y, удовлетворяющее условию Для некоторой вещественной константы L и всех . Здесь обозначает метрику в пространстве X. Это условие часто называют условием Липшица … Википедия
ГЁЛЬДЕРА УСЛОВИЕ — неравенство, в к ром приращение функции оценивается через приращение ее аргумента. Функция , определенная в области Е n мерного евклидова пространства, удовлетворяет в точке Г. у. с показателем (порядка ), где , и коэффициентом (у), если для всех … Математическая энциклопедия
Липшицево отображение — У этого термина существуют и другие значения, см. Отображение (значения). Липшицево отображение отображение между двумя метрическими пространствами, применение которого увеличивает расстояния не более, чем в некоторую константу раз. А… … Википедия
Колипшицево отображение — Липшицево отображение отображение между метрическими пространствами X и Y, удовлетворяющее условию Для некоторой вещественной константы L и всех . Здесь обозначает метрику в пространстве X. Это условие часто называют условием Липшица … Википедия
Липшицева непрерывность — Липшицево отображение отображение между метрическими пространствами X и Y, удовлетворяющее условию Для некоторой вещественной константы L и всех . Здесь обозначает метрику в пространстве X. Это условие часто называют условием Липшица … Википедия
В книжной версии
Том 17. Москва, 2010, стр. 560
Скопировать библиографическую ссылку:
ЛИ́ПШИЦА УСЛО́ВИЕ, ограничение на поведение приращений функции. Если для любых точек $x$ и $y$ , принадлежащих отрезку $[a,b]$ , приращение функции $f$ удовлетворяет неравенству
Наконец общество начинает сознавать, что на нем лежит делиться с народом знаниями и идеями.
Д.И. Писарев. . Народные книжки
В этом параграфе кратко напоминаются основные сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, описываются возможные методы приближенного решения задачи Коши и постановка задачи о разностных методах решения задачи Коши.
1.1.1. Воспоминания о курсе "Обыкновенные дифференциальные уравнения"
| x ў = f ( t , x ), | (E) |
где f : R × R m ® R m непрерывная функция.
На протяжении всего курса R m m -мерное линейное вещественное пространство. Мы всегда считаем, что в R m фиксирован базис и отождествляем R m с координатным m -мерным вещественным пространством: точки из это упорядоченные наборы m вещественных чисел Таким образом, это сокращенная форма записи системы дифференциальных уравнений
| x ў 1 = f 1 ( t , x 1 , . x m ), |
| . |
| x ў m = f m ( t , x 1 , . x m ), |
в которой x = ( x 1 , . x m ), а Кроме того, предполагается, что в R m фиксирована некоторая норма .
Решением уравнения (E) на промежутке [ a , b ] называется функция обращающая (E) в тождество
| j ў ( t ) є f ( t , j ( t )), t О [ a , b ]. |
График решения (лежащий, по определению, в расширенном фазовом пространстве называется Проекция интегральной кривой на фазовое пространство R m параллельно R называется Здесь же отметим, что независимую мы в первой главе всегда будем трактовать как время.
В общей ситуации, уравнение (E) имеет бесконечное множество решений (точнее, m -параметрическое семейство решений). Для того чтобы выделить одно из них, нужны дополнительные условия (уравнения). Такие условия могут быть различными. В этой главе рассматривается только один вид дополнительных условий, так называемые начальные условия требование, чтобы решение в заданной точке принимало заданное значение:
| x ( t 0 ) = x 0 . | (C) |
Задача о нахождении решения уравнения (E), удовлетворяющего начальному условию (C), называется задачей Коши. Обозначение "задача Коши будет универсальным, т.е. действовать на протяжении всей книги; универсальные обозначения и предположения будут заключаться в рамку:
| Задача Коши . |
Говорят, что функция f удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу, если
| $ ( L ) " ( t О R ; x , y О R m ) [|| f ( t , x ) – f ( t , y )|| Ј L || x – y ||] |
Фундаментальное в теории обыкновенных дифференциальных уравнений утверждение о разрешимости задачи следующая
Теорема Пикара. Если функция f непрерывна по первому аргументу и удовлетворяет условию Липшица по второму, то задача Коши на любом отрезке вида имеет единственное решение.
Всюду ниже мы всегда будем предполагать, что
выполнены условия теоремы Пикара. При этом обозначение L для константы Липшица будет универсальным.
Простым достаточным условием выполнения условия Липшица является следующее утверждение. Если функция f дифференцируема по второму аргументу и ее производная равномерно ограничена некоторой константой L: при всех то она удовлетворяет условию Липшица с константой L.
Это же утверждение в "координатной форме": если функции дифференцируемы по последним m аргументам и все частные производные ограничены некоторой при всех то функция f удовлетворяет условию Липшица с некоторой константой L. (Найдите L через K
Несколько слов о геометрической трактовке уравнения (E). В каждой точке расширенного фазового пространства это уравнение задает направление касательной к интегральной кривой, поскольку предписывает, чему должна равняться производная в точке Если в каждой точке R × R m вектором (1, f ( t , x )) указать направление касательной, то получившийся объект называют полем направлений , отвечающим уравнению (E)
(, а). Интегральная кривая должна "касаться" векторного поля в каждой своей точке , б). Поэтому расширенное фазовое пространство можно представлять как парк, часто заполненный стрелками-указателями, а как прогулку по этому парку в соответствии со стрелками (в направлении, указываемом стрелками).
Утверждение о гладкости решений. Если в задаче функция f является k раз непрерывно дифференцируемой, то ее решение j непрерывно дифференцируемо k + 1 раз.
1.1.2. Для чего нужны дифференциальные уравнения и чего мы от них хотим?
Дифференциальные уравнения являются инструментом познания мира и, как всякий инструмент, они развиваются и самосовершенствуются. Поэтому с точки зрения теории это самодостаточный объект. С прикладной же точки зрения дифференциальные уравнения описывают окружающий нас мир, и с их помощью мы можем узнавать о нем новое. "Познание мира" с помощью дифференциальных уравнений обычно состоит из двух этапов: составление модели (дифференциального уравнения, описывающего то или иное явление) и исследование получившейся модели.
Нас интересует в данном курсе второй этап. Поскольку именно решения описывают те или иные природные процессы, в конечном счете прикладнику важна информация именно о них. Большáя часть теории обыкновенных дифференциальных уравнений посвящена изучению решений в случаях, когда оно точно не известно. Это так называемая качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений. К ней относится, например, теория устойчивости, позволяющая, не зная решения, по свойствам уравнения указать свойства устойчивости решений. В конкретных задачах часто возникает необходимость найти решение или иметь возможность вычислить решение в каждой точке. Иногда решение некоторых дифференциальных уравнений удается выписать в явном виде. В то же время множество дифференциальных уравнений, решения которых можно в явном виде выразить через элементарные функции, весьма и весьма бедное. Уже простейшее нелинейное уравнение первого порядка не допускает решений в квадратурах. Поэтому нужны методы, позволяющие вычислять решения произвольных дифференциальных уравнений приближенно.
1.1.3. Как можно решать дифференциальные уравнения приближенно? Метод разложения в ряды.
Исторически первым методом решения дифференциальных уравнений, который использовал еще их автор Ньютон, был метод разложения в ряды. Искомое решение разлагается в ряд (например, Тейлора) с неизвестными коэффициентами. Этот ряд подставляется в (E) и из получившегося уравнения находятся коэффициенты.
Предположим, например, что в уравнении (E) функция f аналитична, т.е. допускает разложение в ряд по степеням t и x :
| f ( t , x ) = f 00 + f 10 t + f 01 x + f 20 t 2 + f 11 tx + f 02 x 2 + . . | (1) |
Тогда известно (это достаточно громоздко доказываемая теорема), что решение j задачи также аналитично, т.е. представимо в виде ряда
| j ( t ) = x 0 + x 1 t + x 2 t 2 + . | (2) |
с неизвестными пока коэффициентами x 0 , x 1 , . Очевидно,
| j ў ( t ) = x 1 + 2 x 2 t + 3 x 3 t 2 + . . | (2) |
Подставим разложения в уравнение (E) и в получившемся уравнении приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t . Кроме того, подставим разложение (2) в начальное условие (для простоты, будем считать, что t 0 = 0). Получим бесконечную систему уравнений
| x 0 = x 0 , |
x 1 = f 00 + f 01 x 0 + f 02 x 2 0 + .
2 x 2 = f 10 + f 01 x 1 + f 11 x 0 + 2 f 02 x 0 x 1 + .
3 x 3 = f 20 + f 11 x 1 + f 01 x 2 + f 02 x 2 1 + 2 f 02 x 0 x 1 + .
Из второго уравнения находится x 1 (через x 0 и f ij ), из x 2 (через x 0 , x 1 и f ij ) Таким способом могут быть найдены все коэффициенты в разложении (2). Частичные суммы ряда (2) аппроксимируют решение с заданной точностью.
Задача 1.1.1. Найдите описанным методом решение скалярной задачи Коши x ў = ax , x ( t 0 ) = x 0 .
Эти методы требуют, как правило, большого объема аналитической плохо алгоритмизируемой работы. Например, для нахождения коэффициентов ряда Тейлора решения нужно вычислять производные высоких порядков от правой части уравнения. В силу этого разложения решений в такие ряды пока мало пригодны для практического использования на ЭВМ. Кроме того, эти методы обладают плохими свойствами устойчивости в вычислительном плане.
1.1.4. Как можно решать дифференциальные уравнения приближенно? Метод последовательных приближений.
Для отыскания приближенного решения можно воспользоваться также методом последовательных приближений. Напомним его суть. Задача Коши эквивалентна интегральному уравнению
| x ( t ) = x 0 + |
t 0
в следующем смысле: если j решение задачи Коши , то j удовлетворяет уравнению (4) и наоборот.
Обозначим правую часть уравнения (4) через ( Jx )( t ). Тогда оно перепишется в операторном виде
| x = Jx . |
Если применить к получившемуся уравнению метод простой итерации, начиная, например, с функции то получим рекуррентно определяемую последовательность функций:
| x n ( t ) = Jx n – 1 = x 0 + | т | t |
t 0
Известно, что последовательность функций x n равномерно сходится к решению задачи , причем известна оценка скорости сходимости. Если теперь заменить в (5) интеграл (вовсе не обязательно берущийся) какой-либо квадратурной формулой (возможность такой замены требует, конечно, обоснования), то получится метод, позволяющий вычислять все более и более точные приближения решения.
Задача 1.1.2. Найдите описанным методом решение скалярной задачи Коши x ў = ax , x ( t 0 ) = x 0 .
Поскольку этот метод требует большого объема вычислительной работы (на каждой итерации приходится неоднократно вычислять значения правой части уравнения), он играет, в основном, теоретическую роль – например, он полезен при доказательстве теоремы Пикара или при доказательстве утверждений о дифференцируемости решений по параметру или начальным данным.
1.1.5. Как можно решать дифференциальные уравнения приближенно? Асимптотические методы.
Искать приближенные решения можно также, пытаясь найти интегрируемое в квадратурах дифференциальное уравнение, решения которого аппроксимируют решения исходного. Такое уравнение указать, как правило, все-таки трудно. Поэтому можно попытаться искать более простое уравнение, аппроксимирующее решения исходного. С этим направлением тесно связаны асимптотические методы или методы разложения по параметру. В данном курсе мы их тоже не рассматриваем.
В настоящее время наиболее универсальными и эффективными методами приближенного решения дифференциальных уравнений признаны так называемые конечно-разностные (их еще называют разностными или сеточными ) методы .
1.1.6. Конечно-разностные методы. Постановка задачи.
Пусть для любого t > 0 задано множество G t точек отрезка такое, что Множество называется сеткой , его узлами , а числа шагами сетки . Если T / n , то говорят о сетке с постоянным шагом , или сетке с шагом t , или равномерной сетке .
Конечно-разностным или разностным методом приближенного решения задачи называют любые методы (приемы, способы), позволяющие для каждого указать (такие функции называют сеточными ), которая в том или ином смысле аппроксимирует решение j задачи . Разумеется, возникает вопрос: в каком смысле понимать фразу "сеточная функция аппроксимирует решение"? Поскольку j t и j принадлежат разным пространствам, то естественно изометрично вложить пространство сеточных решений и пространство решений в одно пространство, и уже в этом пространстве измерять расстояние между ними. Например, вложить пространство сеточных функций в пространство непрерывных функций, заменив сеточную и считать, что j t хорошо аппроксимирует j , если мала.
Чаще поступают следующим образом. "Проектируют" решение j на пространство сеточных функций S t , ставя в соответствие функции j ее сужение на сетку G t . На пространстве сеточных функций S t задают норму, обычно, либо равномерную : max t О G t <|| y ( t )||>, либо вадратичную : Теперь можно считать, что j t хорошо аппроксимирует j , если || j t – P t j || S t мала.
Всюду ниже мы будем считать, что на пространстве S t задана равномерная норма и будем обозначать эту норму через
Если x сеточная функция на G t , то ее значение в точке t i мы всегда будем обозначать через x i , а не стандартно
для любой функции j на отрезке всегда обозначает сужение j функции на сетку
File based on translation from T E X by T T H, version 3.05.
Created 23 May 2002, 19: 09.
