No Image

Условие липшица для функции

СОДЕРЖАНИЕ
1 просмотров
11 марта 2020

Отображения с со свойством

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 для вещественных функций, в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. В последствии условием Липшица стало принято называть это условие только при α = 1 , а при α условием Гёльдера.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Условие Липшица" в других словарях:

Условие Гёльдера — Липшицево отображение отображение между метрическими пространствами X и Y, удовлетворяющее условию Для некоторой вещественной константы L и всех . Здесь обозначает метрику в пространстве X. Это условие часто называют условием Липшица … Википедия

ЛИПШИЦА УСЛОВИЕ — ограничение на поведение приращения функции. Если для любых точек хи х , принадлежащих отрезку [а, Ь], приращение функции f удовлетворяет неравенству где и М нек рая постоянная, то говорят что функция f (х).на отрезке [а, b]удовлетворяет условию… … Математическая энциклопедия

Липшица условие — ограничение на поведение приращения функции. Если для любых точек х и х , принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенству ∣f(x) f(x )∣ ≤ М∣х х ∣α где 0 Большая советская энциклопедия

ЛИПШИЦА УСЛОВИЕ — интегральное ограничение на поведение приращения функции в интегральной метрике. Функция f(x).из пространства с удовлетворяет на отрезке [ а, b]интегральному Липшица условию порядка a>0 с постоянной М>0, если при всех В этом случае пишут… … Математическая энциклопедия

Условие Гельдера — Показатель Гёльдера α (известен также как показатель Липшица) характеристика гладкости функции. Локальный (точечный) показатель Гёльдера характеризует локальную гладкость (локальную нерегулярность) функции в точке. В общем случае показатель… … Википедия

Гёльдера условие — Липшицево отображение отображение между метрическими пространствами X и Y, удовлетворяющее условию Для некоторой вещественной константы L и всех . Здесь обозначает метрику в пространстве X. Это условие часто называют условием Липшица … Википедия

ГЁЛЬДЕРА УСЛОВИЕ — неравенство, в к ром приращение функции оценивается через приращение ее аргумента. Функция , определенная в области Е n мерного евклидова пространства, удовлетворяет в точке Г. у. с показателем (порядка ), где , и коэффициентом (у), если для всех … Математическая энциклопедия

Липшицево отображение — У этого термина существуют и другие значения, см. Отображение (значения). Липшицево отображение отображение между двумя метрическими пространствами, применение которого увеличивает расстояния не более, чем в некоторую константу раз. А… … Википедия

Колипшицево отображение — Липшицево отображение отображение между метрическими пространствами X и Y, удовлетворяющее условию Для некоторой вещественной константы L и всех . Здесь обозначает метрику в пространстве X. Это условие часто называют условием Липшица … Википедия

Липшицева непрерывность — Липшицево отображение отображение между метрическими пространствами X и Y, удовлетворяющее условию Для некоторой вещественной константы L и всех . Здесь обозначает метрику в пространстве X. Это условие часто называют условием Липшица … Википедия

  • В книжной версии

    Том 17. Москва, 2010, стр. 560

    Скопировать библиографическую ссылку:

    ЛИ́ПШИЦА УСЛО́ВИЕ, ог­ра­ни­че­ние на по­ве­де­ние при­ра­ще­ний функ­ции. Ес­ли для лю­бых то­чек $x$ и $y$ , при­над­ле­жа­щих от­рез­ку $[a,b]$ , при­ра­ще­ние функ­ции $f$ удов­ле­тво­ря­ет не­ра­вен­ст­ву

    Наконец общество начинает сознавать, что на нем лежит делиться с народом знаниями и идеями.

    Д.И. Писарев. . Народные книжки

    В этом параграфе кратко напоминаются основные сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, описываются возможные методы приближенного решения задачи Коши и постановка задачи о разностных методах решения задачи Коши.

    Читайте также:  Как посмотреть лайкнутые записи в вк

    1.1.1. Воспоминания о курсе "Обыкновенные дифференциальные уравнения"

    x ў = f ( t , x ), (E)

    где f : R × R m ® R m — непрерывная функция.

    На протяжении всего курса R m — m -мерное линейное вещественное пространство. Мы всегда считаем, что в R m фиксирован базис и отождествляем R m с координатным m -мерным вещественным пространством: точки из это упорядоченные наборы m вещественных чисел Таким образом, это сокращенная форма записи системы дифференциальных уравнений

    x ў 1 = f 1 ( t , x 1 , . x m ),
    .
    x ў m = f m ( t , x 1 , . x m ),

    в которой x = ( x 1 , . x m ), а Кроме того, предполагается, что в R m фиксирована некоторая норма .

    Решением уравнения (E) на промежутке [ a , b ] называется функция обращающая (E) в тождество

    j ў ( t ) є f ( t , j ( t )), t О [ a , b ].

    График решения (лежащий, по определению, в расширенном фазовом пространстве называется Проекция интегральной кривой на фазовое пространство R m параллельно R называется Здесь же отметим, что независимую мы в первой главе всегда будем трактовать как время.

    В общей ситуации, уравнение (E) имеет бесконечное множество решений (точнее, m -параметрическое семейство решений). Для того чтобы выделить одно из них, нужны дополнительные условия (уравнения). Такие условия могут быть различными. В этой главе рассматривается только один вид дополнительных условий, так называемые начальные условия — требование, чтобы решение в заданной точке принимало заданное значение:

    x ( t 0 ) = x 0 . (C)

    Задача о нахождении решения уравнения (E), удовлетворяющего начальному условию (C), называется задачей Коши. Обозначение "задача Коши будет универсальным, т.е. действовать на протяжении всей книги; универсальные обозначения и предположения будут заключаться в рамку:

    Задача Коши .

    Говорят, что функция f удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу, если

    $ ( L ) " ( t О R ; x , y О R m ) [|| f ( t , x ) – f ( t , y )|| Ј L || x – y ||]

    Фундаментальное в теории обыкновенных дифференциальных уравнений утверждение о разрешимости задачи следующая

    Теорема Пикара. Если функция f непрерывна по первому аргументу и удовлетворяет условию Липшица по второму, то задача Коши на любом отрезке вида имеет единственное решение.

    Всюду ниже мы всегда будем предполагать, что

    выполнены условия теоремы Пикара. При этом обозначение L для константы Липшица будет универсальным.

    Простым достаточным условием выполнения условия Липшица является следующее утверждение. Если функция f дифференцируема по второму аргументу и ее производная равномерно ограничена некоторой константой L: при всех то она удовлетворяет условию Липшица с константой L.

    Это же утверждение в "координатной форме": если функции дифференцируемы по последним m аргументам и все частные производные ограничены некоторой при всех то функция f удовлетворяет условию Липшица с некоторой константой L. (Найдите L через K

    Несколько слов о геометрической трактовке уравнения (E). В каждой точке расширенного фазового пространства это уравнение задает направление касательной к интегральной кривой, поскольку предписывает, чему должна равняться производная в точке Если в каждой точке R × R m вектором (1, f ( t , x )) указать направление касательной, то получившийся объект называют полем направлений , отвечающим уравнению (E)

    (, а). Интегральная кривая должна "касаться" векторного поля в каждой своей точке , б). Поэтому расширенное фазовое пространство можно представлять как парк, часто заполненный стрелками-указателями, а как прогулку по этому парку в соответствии со стрелками (в направлении, указываемом стрелками).

    Утверждение о гладкости решений. Если в задаче функция f является k раз непрерывно дифференцируемой, то ее решение j непрерывно дифференцируемо k + 1 раз.

    1.1.2. Для чего нужны дифференциальные уравнения и чего мы от них хотим?

    Читайте также:  Как написать название таблицы в ворде

    Дифференциальные уравнения являются инструментом познания мира и, как всякий инструмент, они развиваются и самосовершенствуются. Поэтому с точки зрения теории это самодостаточный объект. С прикладной же точки зрения дифференциальные уравнения описывают окружающий нас мир, и с их помощью мы можем узнавать о нем новое. "Познание мира" с помощью дифференциальных уравнений обычно состоит из двух этапов: составление модели (дифференциального уравнения, описывающего то или иное явление) и исследование получившейся модели.

    Нас интересует в данном курсе второй этап. Поскольку именно решения описывают те или иные природные процессы, в конечном счете прикладнику важна информация именно о них. Большáя часть теории обыкновенных дифференциальных уравнений посвящена изучению решений в случаях, когда оно точно не известно. Это так называемая качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений. К ней относится, например, теория устойчивости, позволяющая, не зная решения, по свойствам уравнения указать свойства устойчивости решений. В конкретных задачах часто возникает необходимость найти решение или иметь возможность вычислить решение в каждой точке. Иногда решение некоторых дифференциальных уравнений удается выписать в явном виде. В то же время множество дифференциальных уравнений, решения которых можно в явном виде выразить через элементарные функции, весьма и весьма бедное. Уже простейшее нелинейное уравнение первого порядка не допускает решений в квадратурах. Поэтому нужны методы, позволяющие вычислять решения произвольных дифференциальных уравнений приближенно.

    1.1.3. Как можно решать дифференциальные уравнения приближенно? Метод разложения в ряды.

    Исторически первым методом решения дифференциальных уравнений, который использовал еще их автор Ньютон, был метод разложения в ряды. Искомое решение разлагается в ряд (например, Тейлора) с неизвестными коэффициентами. Этот ряд подставляется в (E) и из получившегося уравнения находятся коэффициенты.

    Предположим, например, что в уравнении (E) функция f аналитична, т.е. допускает разложение в ряд по степеням t и x :

    f ( t , x ) = f 00 + f 10 t + f 01 x + f 20 t 2 + f 11 tx + f 02 x 2 + . . (1)

    Тогда известно (это достаточно громоздко доказываемая теорема), что решение j задачи также аналитично, т.е. представимо в виде ряда

    j ( t ) = x 0 + x 1 t + x 2 t 2 + . (2)

    с неизвестными пока коэффициентами x 0 , x 1 , . Очевидно,

    j ў ( t ) = x 1 + 2 x 2 t + 3 x 3 t 2 + . . (2)

    Подставим разложения в уравнение (E) и в получившемся уравнении приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t . Кроме того, подставим разложение (2) в начальное условие (для простоты, будем считать, что t 0 = 0). Получим бесконечную систему уравнений

    x 0 = x 0 ,

    x 1 = f 00 + f 01 x 0 + f 02 x 2 0 + .

    2 x 2 = f 10 + f 01 x 1 + f 11 x 0 + 2 f 02 x 0 x 1 + .

    3 x 3 = f 20 + f 11 x 1 + f 01 x 2 + f 02 x 2 1 + 2 f 02 x 0 x 1 + .

    Из второго уравнения находится x 1 (через x 0 и f ij ), из x 2 (через x 0 , x 1 и f ij ) Таким способом могут быть найдены все коэффициенты в разложении (2). Частичные суммы ряда (2) аппроксимируют решение с заданной точностью.

    Задача 1.1.1. Найдите описанным методом решение скалярной задачи Коши x ў = ax , x ( t 0 ) = x 0 .

    Эти методы требуют, как правило, большого объема аналитической плохо алгоритмизируемой работы. Например, для нахождения коэффициентов ряда Тейлора решения нужно вычислять производные высоких порядков от правой части уравнения. В силу этого разложения решений в такие ряды пока мало пригодны для практического использования на ЭВМ. Кроме того, эти методы обладают плохими свойствами устойчивости в вычислительном плане.

    1.1.4. Как можно решать дифференциальные уравнения приближенно? Метод последовательных приближений.

    Для отыскания приближенного решения можно воспользоваться также методом последовательных приближений. Напомним его суть. Задача Коши эквивалентна интегральному уравнению

    x ( t ) = x 0 +

    t 0

    f [ s , x ( s )] ds , t О [ t 0 , t 0 + T ] (4)

    в следующем смысле: если j — решение задачи Коши , то j удовлетворяет уравнению (4) и наоборот.

    Читайте также:  Инфоурок регистрация для учеников по коду

    Обозначим правую часть уравнения (4) через ( Jx )( t ). Тогда оно перепишется в операторном виде

    x = Jx .

    Если применить к получившемуся уравнению метод простой итерации, начиная, например, с функции то получим рекуррентно определяемую последовательность функций:

    x n ( t ) = Jx n – 1 = x 0 + т t

    t 0

    f [ s , x n – 1 ( s )] ds , n = 1, 2, . . (5)

    Известно, что последовательность функций x n равномерно сходится к решению задачи , причем известна оценка скорости сходимости. Если теперь заменить в (5) интеграл (вовсе не обязательно берущийся) какой-либо квадратурной формулой (возможность такой замены требует, конечно, обоснования), то получится метод, позволяющий вычислять все более и более точные приближения решения.

    Задача 1.1.2. Найдите описанным методом решение скалярной задачи Коши x ў = ax , x ( t 0 ) = x 0 .

    Поскольку этот метод требует большого объема вычислительной работы (на каждой итерации приходится неоднократно вычислять значения правой части уравнения), он играет, в основном, теоретическую роль – например, он полезен при доказательстве теоремы Пикара или при доказательстве утверждений о дифференцируемости решений по параметру или начальным данным.

    1.1.5. Как можно решать дифференциальные уравнения приближенно? Асимптотические методы.

    Искать приближенные решения можно также, пытаясь найти интегрируемое в квадратурах дифференциальное уравнение, решения которого аппроксимируют решения исходного. Такое уравнение указать, как правило, все-таки трудно. Поэтому можно попытаться искать более простое уравнение, аппроксимирующее решения исходного. С этим направлением тесно связаны асимптотические методы или методы разложения по параметру. В данном курсе мы их тоже не рассматриваем.

    В настоящее время наиболее универсальными и эффективными методами приближенного решения дифференциальных уравнений признаны так называемые конечно-разностные (их еще называют разностными или сеточными ) методы .

    1.1.6. Конечно-разностные методы. Постановка задачи.

    Пусть для любого t > 0 задано множество G t точек отрезка такое, что Множество называется сеткой , его узлами , а числа шагами сетки . Если T / n , то говорят о сетке с постоянным шагом , или сетке с шагом t , или равномерной сетке .

    Конечно-разностным или разностным методом приближенного решения задачи называют любые методы (приемы, способы), позволяющие для каждого указать (такие функции называют сеточными ), которая в том или ином смысле аппроксимирует решение j задачи . Разумеется, возникает вопрос: в каком смысле понимать фразу "сеточная функция аппроксимирует решение"? Поскольку j t и j принадлежат разным пространствам, то естественно изометрично вложить пространство сеточных решений и пространство решений в одно пространство, и уже в этом пространстве измерять расстояние между ними. Например, вложить пространство сеточных функций в пространство непрерывных функций, заменив сеточную и считать, что j t хорошо аппроксимирует j , если мала.

    Чаще поступают следующим образом. "Проектируют" решение j на пространство сеточных функций S t , ставя в соответствие функции j ее сужение на сетку G t . На пространстве сеточных функций S t задают норму, обычно, либо равномерную : max t О G t <|| y ( t )||>, либо вадратичную : Теперь можно считать, что j t хорошо аппроксимирует j , если || j t – P t j || S t мала.

    Всюду ниже мы будем считать, что на пространстве S t задана равномерная норма и будем обозначать эту норму через

    Если x — сеточная функция на G t , то ее значение в точке t i мы всегда будем обозначать через x i , а не стандартно

    для любой функции j на отрезке всегда обозначает сужение j функции на сетку

    File based on translation from T E X by T T H, version 3.05.
    Created 23 May 2002, 19: 09.

    Комментировать
    1 просмотров
    Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

    Это интересно
    Adblock detector