No Image

Уравнение x 0 в пространстве задает

СОДЕРЖАНИЕ
1 просмотров
11 марта 2020

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 – плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 – плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 – плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 – плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

=; (3.3)

3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) – нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.

Пример 1.15. Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60 о .

Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями

.

Решая квадратное уравнение 3m 2 + 8m – 3 = 0, находим его корни
m1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.

Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y – 2z + 5 = 0.

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:

где m, n, р – координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 – координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y – 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n1(5,1,1) и n2(2,3,-2). Тогда

Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z – 1)/13.

Пример 1.18. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).

Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z – 3u + v = 0.

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:

(2u+v)×1 + ( -u + v) ×0 + (5u + 2v )×1 -3u + v =0, или v = – u.

Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = – u в уравнение пучка:

u(2x-y +5z – 3) – u (x + y +2z +1) = 0.

Т.к. u ¹0 ( иначе v=0, а это противоречит определению пучка ), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:

(2u+ v) ×1 + (v – u) ×(-2) + (5u +2v) ×3 = 0, или v = – 19/5u.

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

Читайте также:  Мойка в углу кухни удобно ли отзывы

u(2x -y+5z – 3) – 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.

Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.

Уравнение прямой в пространстве: общие сведения

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y – это линейное уравнение с переменными x и y , которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.

Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x , y , z , которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение A x + B y + C z + D = 0 , где x , y , z – переменные, а А , В , С и D – некоторые действительные числа ( А , В , С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат O x y z ? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.

Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей

Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.

Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.

Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат O x y z и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β , которые соответственно описываются уравнениями плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β , то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.

Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Общее же решение системы уравнений _ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определит координаты каждой точки прямой a , т.е. по сути задает саму прямую a .

Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:

x + 3 y – 2 1 z + 11 3 y + 1 4 z – 2 = 0

Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.

Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.

Параметрические уравнения прямой в пространстве

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где x 1 , y 1 , z 1 – координаты некой точки прямой; а x , а y и a z (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а · λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.

Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел ( x , y , z ) , соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ = 0 , тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:

x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 z = z 1 + a z · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 z = z 1

Рассмотрим конкретный пример:

Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x = 3 + 2 · a x y = – 2 · a y z = 2 + 2 · a z .

Заданная прямая проходит через точку М 1 ( 3 , 0 , 2 ) ; направляющий вектор этой прямой имеет координаты 2 , – 2 , 2 .

Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ относительно параметра λ , возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z .

Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , и у которой направляющий вектор равен a → = ( a x , a y , a z ) . Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x – 1 1 = y 2 = z + 5 7 . Эта прямая проходит через точку с координатами ( 1 , 0 , – 5 ) , ее направляющий вектор имеет координаты ( 1 , 2 , – 7 ) .

Отметим, что одно или два числа из чисел а x , а y и а z в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:

Читайте также:  Kapsch trp 4010 замена батарейки

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где λ ∈ R .

Если одно из чисел а x , а y и a z канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел а x , а y и a z равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническими уравнениями x + 4 3 = y – 5 2 = z + 2 0 , лежит в плоскости z = – 2 , параллельной координатной плоскости O x y , а координатная ось O y описывается каноническими уравнениями x 0 = y 1 = z 0 .

Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.

1. Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид

(18.1) ,

где М,y,z) – точка, лежащая на прямой, а l(a,b,c) – ее направляющий вектор. Их вывод копирует соответствующие рассуждения из §13. Проведите его сами.

2. Канонические уравнения прямой в пространстве. Вспомним еще раз, что точка М(х,у,z) лежит на прямой l = [М,z), l(a,b,c)] тогда и только тогда, когда MM || l, что равносильно пропорциональности координат этих векторов. Если все три координаты вектора l не равны 0, эту пропорциональность можно записать в виде

(18.2) .

Это и есть каноническое уравнение прямой в пространстве. Оно аналогично опасной форме (13.5) канонического уравнения прямой на плоскости.

Заметим, что тройное равенство (18.2) есть краткая запись трех попарных равенств: , и . Поскольку каждое из них является следствием двух других, тройное равенство (18.2) равносильно системе двух обычных, например

(18.3) ,

которая называется системой канонических уравнений прямой в пространстве. Приведя первое из них к виду bx – ay + (ay + bx) = 0, убедимся, что оно задает плоскость, параллельную Оz. Аналогично, второе уравнение системы (18.2) задает плоскость, параллельную Oy. Таким образом, система канонических уравнений задает прямую, как пересечение двух плоскостей, параллельных двум различным координатным осям.

Система (18.3), как и уравнение (18.2), имеет смысл только при a, b, c ¹ 0. Покажем, как будут выглядеть канонические уравнения прямой, если это условие не выполняется.

Случай 1: a, b ¹ 0, c = 0. В этом случае направляющий вектор l(a,b,0) прямой по признаку (17.8) параллелен плоскости z – z = 0, а сама прямая, имеющая с этой плоскостью общую точку М,y,z), лежит в ней. Поэтому мы можем, сохранив первое из уравнений (18.3), заменить второе уравнением z – z = 0. Получится система

(18.3′) ,

задающая прямую как пересечение плоскостей, параллельных Oz и Оху.

Случай 2: a ¹ 0, b, c = 0. Тут направляющий вектор l(a,0,0) параллелен плоскостям z – z = 0 и у – у = 0, а сама прямая есть их пересечение и задается системой

(18.3”) .

(18.3) Замечание. Форма записи (18.2) канонического уравнения прямой в пространстве весьма коварна. Кроме желания использовать ее, когда какой-то из знаменателей обращается в нуль, она провоцирует еще на одну ошибку: записать условие, что точка (x,y,z) не лежит на прямой, в виде

(18.4)

Так делать нельзя, ибо отрицание системы (18.3) – а, тем самым, и тройного равенства (18.2) – есть дизъюнкция или , а не конъюнкция (18.4).

3. Уравнения прямой, заданной в пространстве двумя точками, получаются из уравнений (18.1) и (18.2) так же, как в случае прямой на плоскости. Выведите их сами.

§19. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

1. Взаимное расположение двух плоскостей. Возьмем две плоскости, заданные в АСК общими уравнениями:

и

П1: А1х + В1у + C1z + D1 = 0 (*)

и попытаемся, используя только данные уравнения, установить взаимное расположение этих плоскостей. Подобную задачу мы уже решали для прямых на плоскости; результаты для плоскостей в пространстве оказываются аналогичными.

(19.1) Теорема. Плоскости П1 и П2 параллельны в широком смысле тогда и только тогда, когда коэффициенты при х, у и z в их общих уравнениях пропорциональны, т.е.

При условии (19.2) плоскости П1 и П2 совпадают тогда и только тогда, когда

ð Параллельность плоскостей в широком смысле означает, что всякий вектор, параллельный одной из них, параллелен и другой.[20] Пусть выполнено условие (19.2). Тогда по признаку параллельности вектора и плоскости р(а,b,c) || П1 Û A1a + B1b + C1c = 0 Û k(A1a + B1b + C1c) = 0 Û A2a + B2b + C2c = 0 Û р(а,b,c) || П2. Значит, условие (19.2) влечет параллельность плоскостей. Обратно, пусть П1 || П2. Не умаляя общности, будем считать, что С1 ¹ 0. Векторы a(0,–C1, B1) и b(–C1,0,A1), параллельные П1, параллельны и П2. Отсюда по признаку параллельности вектора и плоскости имеем: a || П2 Þ –C1В2+B1С2 = 0 Þ В1 и b || П2 Þ –C1A2+A1С2 = 0 Þ A1. Учитывая, что С2 = С1, получаем, что равенство (19.2) выполнено при k = . Признак параллельности доказан.

Читайте также:  Технологии изготовления полупроводниковых приборов

Признак совпадения плоскостей в одну сторону очевиден: если все коэффициенты уравнения (**) пропорциональны соответствующим коэффициентам уравнения (*), то эти уравнения равносильны. Обратно, если П1 = П2, то П1 || П2 и выполнено условие (19.2). Осталось взять произвольную точку М,z)ÎП12, подставить ее координаты в уравнения (*) и (**) и заметить, что D2 = –(A2x+B2y+C2z) = k(–A1x–B1y–C1z) = kD1. ð

2. Прямая как пересечение двух плоскостей. Возьмем две непараллельные плоскости, заданные уравнениями (*) и (**) из п.1. Они пересекаются по прямой l, заданной системой

(19.4) ,

которая называется системой общих уравнений прямой в пространстве. Очевидно, так можно задать любую прямую.

При решении задач на прямую, заданную общими уравнениями, бывает полезна

(19.5) Теорема. Вектор р(,,) является направляющим для прямой, заданной системой (19.4).

ð Достаточно показать, что этот вектор параллелен обеим плоскостям, заданным уравнениями из системы (19.4). Применим признак параллельности вектора и плоскости: р || П1 Û А1+ В1+ С1= 0 Û = 0. Но последнее равенство очевидно, ибо у определителя в его левой части – два одинаковых столбца. Аналогично проверяется и условие р || П2. ð

3. Взаимное расположение прямой и плоскости. Установим взаимное расположение прямой l = [М,y,z), р(a,b,c)] и плоскости П: Ax + By +Cz + D = 0. Признак их параллельности в широком смысле очевиден: l || П Û р || П Û

(19.6) Aa + Bb +Cc = 0

Теперь разберемся, когда прямая лежит в плоскости. Для этого необходимо и достаточно, чтобы прямая и плоскость были параллельны, и точка М лежала в плоскости. Задавая оба условия аналитически, получаем систему, составленную из равенства (19.6) и условия принадлежности точки М плоскости П:

Наконец, прямая пересекает плоскость тогда и только тогда, когда не выполнено условие (19.6). Чтобы в этом случае найти точку пересечения, удобнее всего задать прямую l параметрическими уравнениями, подставить их в уравнение плоскости и найти соответствующее точке пересечения значение параметра.

4. Взаимное расположение двух прямых. (19.8) Лемма. Прямые
l = [М,y,z), р(a,b,c)] и m = [M11,y1,z1), q(a1,b1,c1)] лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы MM1, p и q компланарны, т.е.

(19.9) = 0 .

ð Пусть векторы MM1, p и q компланарны. Это значит, что они параллельны некоторой плоскости a. Проведем через точку М плоскость a || a. Поскольку ММ1 || a, точка М1 лежит в плоскости a. Кроме того, векторы p и q параллельны этой плоскости. Значит, прямые l и m лежат в ней. Обратно, пусть прямые l и m лежат в некоторой плоскости. Тогда векторы p и q параллельны ей, а точки M и M1 лежат в ней. Значит, вектор MM1 тоже параллелен этой плоскости, что и завершает доказательство. ð

(19.10) Лемма. Прямые l и m совпадают тогда и только тогда, когда все три вектора MM1, p и q коллинеарны.

ð То, что из совпадения прямых вытекает коллинеарность векторов, очевидно. Обратно, пусть векторы коллинеарны. Тогда прямая m и вектор MM1 параллельны прямой l. Так как точка М лежит на этой прямой, на ней же лежит и точка М1. Значит, прямая m параллельна прямой l и имеет с ней общую точку, откуда l = m. ð

Теперь мы можем описать алгоритм выяснения взаимного расположения двух прямых. Сначала проверяем равенство (19.9). Если оно не выполнено, прямые скрещиваются. Если выполнено, проверяем коллинеарность векторов p и q. Если они не коллинеарны, прямые лежат в одной плоскости и не параллельны, т.е., они пересекаются. Если же p || q, проверяем, коллинеарны ли векторы MM1 и p. Если да – прямые совпадают, если нет – параллельны в узком смысле.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась – это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8526 – | 8113 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Комментировать
1 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector