No Image

Уравнение прямой касательной к окружности

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
11 марта 2020

Уравнение окружности можно считать как неявно заданную функцию, F(x, y) = x^2 + y^2 – r^2 = 0 (ф. 1). По теореме о производной неявной функции известно, что y'(x) = -Fx/Fy, где Fx и Fy – соответственно частные производные F по x и y. Тогда уравнение касательной (ых) будет иметь вид:
Fx*(x-Px) + Fy*(y-Py) = 0 (ф. 2).

Найдём частные производные:

Fx = 2Px, Fy = 2Py, и тогда
Px*(x-Px) + Py*(y-Py) = 0 (ф. 3) ,
Px*x – Px^2 + Py*y – Py^2 = 0, но Px^2 + Py^2 = r^2, то есть

Px*x + Py*y – r^2 = 0 или с учётом ф. 1

Px*x ± sqrt(r^2 – Px^2)*y – r^2 = 0 (ф. 4)

Учитываем также что касательные проходят через точку M, то есть
Px*x0 ± sqrt(r^2 – Px^2)*y0 – r^2 = 0 (ф. 5)
Остаётся только решить уравнение ф. 5. Для этого возводим ф. 5 в квадрат (при это корень переносим вправо, всё остальное оставляем слева) и получаем квадратное уравнение относительно Px. Далее, решаем это уравнение и получаем (рутина произведена в Maple):
Px1 = r*(y0*sqrt(-x0^2*(-y0^2+r^2-x0^2))+r*x0^2)/((y0^2+x0^2)*x0)
Px2 = – r*(y0*sqrt(-x0^2*(-y0^2+r^2-x0^2))-r*x0^2)/((y0^2+x0^2)*x0)

Далее Px1 и Px2 подставляем в ф. 4 и получаем уравнение касательных. С учётом двух корней и знаков корня в ф. 4 получается 4 прямых, но только две из них являются касательными (надо правильно угадать знак) .

Если не использовать понятие производной, и взять объяснение из учебников середины прошлого века, то "Касательная к окружности – это прямая пересекающая окружность в двух совпадающих точках"

Окружность на плоскости может быть представлена в виде нескольких исходных данных

1. В виде координат центра окружности (x0,y0) и её радиуса R.

2. В виде общего уравнения

В виде параметрического вида и в полярных координатах мы рассматривать не будем, так как там формулы тоже на базируются на координатах центра окружности и радиусе.

Читайте также:  Java lang outofmemoryerror как исправить

Наша задача, зная параметры окружности и точку принадлежащую этой окружности вычислить параметры касательной к этой окружности.

Эта задача, является частным решением более общего калькулятор касательная к кривой второго порядка

Итак, если окружность выражена формулой

Уравнение касательной к окружности если нам известны параметры общего уравнения таково:

Таким образом, зная все коэффициенты, мы очень легко найдем уравнение касательной в заданной точке.

ВАЖНО: При указании точки, она должна быть обязательно(!!) принадлежать окружности,
и не быть точкой в какой либо стороне. В противном случае, уравнение касательной будет неверным.

Примеры

Вычислить уравнение касательной в точке (13.8, 0) к окружности выраженной формулой

Главная Шутки Форум
План занятий

Окружность. Центр окружности. Радиус окружности.

Уравнение окружности. Уравнение касательной к окружности.

Условие касания прямой и окружности.

Окружностью ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки О, называемой центром окружности, на расстояние R . Число R > 0 называется радиусом окружности.

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке О ( х , у ) имеет вид:

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности упрощается:

Пусть Р ( х 1 , у 1 ) – точка окружности ( рис.1 ), тогда уравнение касательной к окружности в данной точке имеет вид:

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector