No Image

Укажите промежутки возрастания и убывания функции

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
11 марта 2020

Исследование функции с помощью производной

Определение : Точка х называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х выполняется неравенство: f(x) .
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной

  1. Найти производную функции f′(x) .
  2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
  3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x) . Если на промежутке f′(x) , то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0 , то на этом промежутке функция возрастает.
  4. Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
  5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример №1 : Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x 3 –3x 2 .
Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x 2 –6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x 2 –6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

x (-∞, 0) (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x) + +
f(x) возрастает max убывает min возрастает

f(0) = 0 3 – 3*0 2 = 0
f(2) = 2 3 – 3*2 2 = -4
Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной

  1. Найти производную f′(x) .
  2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0 .
  3. Найти вторую производную f″(x) .
  4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
  5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f"(x) ≥ 0 при всех х [a, b].

Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.

Пример №2 . Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x 2 – 2x – 3.
Решение: Находим производную: f′(x) = 2x – 2.
Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х =1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: fmin = f(1) = -4.
Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).

1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие

x_1 Rightarrow f(x_2 ) > f(x_1 ). ]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие

Кратко это записывают так:

3) Функцию, возрастающую на промежутке либо убывающую на промежутке, называют монотонной функцией на этом промежутке (или строго монотонной).

4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей.

Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей.

Например, y=√x, y=x³ — возрастающие функции.

Линейная функция y=kx+b возрастающая при k>0 и убывающая при k

то функция y=f(x) называется неубывающей на этом промежутке.

6) Если для любых двух значений x1,x2 из некоторого промежутка выполняется условие

Функция y=g(x) является неубывающей на промежутке [x1;x2].

Функция y=g(x) является невозрастающей на промежутке [x2;x3].

Возрастание и убывание функции можно определять как с помощью графика, так и аналитически.

Как доказать, что функция возрастает или убывает, с помощью задающей эту функцию формулы?

группирует первое слагаемое с третьим, второе — с четвертым. В первых скобках — разность квадратов, из вторых выносим общий множитель 4 за скобки:

Теперь выносим общий множитель (x2-x1) за скобки:

Так как x2>x1, то x2-x1>0. Следовательно, знак произведения зависит от знака второго множителя.

Для x1, x2 ∈(-∞;-2) x2+x1+4

возрастает на промежутке (2;+∞).

Функция определена при x∈(-∞;2) и (2;+∞).

Возрастание и убывание функции на интервале

Функция y = f ( x ) будет возрастать на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X и x 2 ∈ X , x 2 > x 1 неравенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y = f ( x ) считается убывающей на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 равенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть ( a ; b ) , где х = а , х = b , точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x .

Основные свойства элементарных функций типа y = sin x – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале – π 2 ; π 2 , тогда возрастание на отрезке имеет вид – π 2 ; π 2 .

Точки экстремума, экстремумы функции

Точка х 0 называется точкой максимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≥ f ( x ) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается y m a x .

Точка х 0 называется точкой минимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≤ f ( x ) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида y m i n .

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [ a ; b ] . Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х = b .

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Пусть задана функция y = f ( x ) , которая дифференцируема в ε окрестности точки x 0 , причем имеет непрерывность в заданной точке x 0 . Отсюда получаем, что

  • когда f ‘ ( x ) > 0 с x ∈ ( x 0 – ε ; x 0 ) и f ‘ ( x ) 0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой максимума;
  • когда f ‘ ( x ) 0 с x ∈ ( x 0 – ε ; x 0 ) и f ‘ ( x ) > 0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой минимума.
Читайте также:  Как правильно ставить сноски в тексте

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

  • когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на – , значит, точка называется максимумом;
  • когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком с – на + , значит, точка называется минимумом.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

  • найти область определения;
  • найти производную функции на этой области;
  • определить нули и точки, где функция не существует;
  • определение знака производной на интервалах;
  • выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Найти точки максимума и минимума заданной функции y = 2 ( x + 1 ) 2 x – 2 .

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х = 2 . Для начала найдем производную функции и получим:

y ‘ = 2 x + 1 2 x – 2 ‘ = 2 · x + 1 2 ‘ · ( x – 2 ) – ( x + 1 ) 2 · ( x – 2 ) ‘ ( x – 2 ) 2 = = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x + 1 ) ‘ · ( x – 2 ) – ( x + 1 ) 2 · 1 ( x – 2 ) 2 = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x – 2 ) – ( x + 2 ) 2 ( x – 2 ) 2 = = 2 · ( x + 1 ) · ( x – 5 ) ( x – 2 ) 2

Отсюда видим, что нули функции – это х = – 1 , х = 5 , х = 2 , то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х = – 2 , х = 0 , х = 3 , х = 6 .

y ‘ ( – 2 ) = 2 · ( x + 1 ) · ( x – 5 ) ( x – 2 ) 2 x = – 2 = 2 · ( – 2 + 1 ) · ( – 2 – 5 ) ( – 2 – 2 ) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 , значит, интервал – ∞ ; – 1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

y ‘ ( 0 ) = 2 · ( 0 + 1 ) · 0 – 5 0 – 2 2 = 2 · – 5 4 = – 5 2 0 y ‘ ( 3 ) = 2 · ( 3 + 1 ) · ( 3 – 5 ) ( 3 – 2 ) 2 = 2 · – 8 1 = – 16 0 y ‘ ( 6 ) = 2 · ( 6 + 1 ) · ( 6 – 5 ) ( 6 – 2 ) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке х = – 1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на – . По первому признаку имеем, что х = – 1 является точкой максимума, значит получаем

y m a x = y ( – 1 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x – 2 x = – 1 = 2 · ( – 1 + 1 ) 2 – 1 – 2 = 0

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

y m i n = y ( 5 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x – 2 x = 5 = 2 · ( 5 + 1 ) 2 5 – 2 = 24

Ответ: y m a x = y ( – 1 ) = 0 , y m i n = y ( 5 ) = 24 .

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x 0 , этим и упрощает вычисление.

Найти точки максимума и минимума функции y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x – 8 .

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

– 1 6 x 3 – 2 x 2 – 22 3 x – 8 , x 0 1 6 x 3 – 2 x 2 + 22 3 x – 8 , x ≥ 0

После чего необходимо найти производную:

y ‘ = 1 6 x 3 – 2 x 2 – 22 3 x – 8 ‘ , x 0 1 6 x 3 – 2 x 2 + 22 3 x – 8 ‘ , x > 0 y ‘ = – 1 2 x 2 – 4 x – 22 3 , x 0 1 2 x 2 – 4 x + 22 3 , x > 0

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y ‘ x → 0 – 0 = lim y x → 0 – 0 – 1 2 x 2 – 4 x – 22 3 = – 1 2 · ( 0 – 0 ) 2 – 4 · ( 0 – 0 ) – 22 3 = – 22 3 lim y ‘ x → 0 + 0 = lim y x → 0 – 0 1 2 x 2 – 4 x + 22 3 = 1 2 · ( 0 + 0 ) 2 – 4 · ( 0 + 0 ) + 22 3 = + 22 3

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 , тогда вычисляем

lim y x → 0 – 0 = lim x → 0 – 0 – 1 6 x 3 – 2 x 2 – 22 3 x – 8 = = – 1 6 · ( 0 – 0 ) 3 – 2 · ( 0 – 0 ) 2 – 22 3 · ( 0 – 0 ) – 8 = – 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 – 0 1 6 x 3 – 2 x 2 + 22 3 x – 8 = = 1 6 · ( 0 + 0 ) 3 – 2 · ( 0 + 0 ) 2 + 22 3 · ( 0 + 0 ) – 8 = – 8 y ( 0 ) = 1 6 x 3 – 2 x 2 + 22 3 x – 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 – 2 · 0 2 + 22 3 · 0 – 8 = – 8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

– 1 2 x 2 – 4 x – 22 3 , x 0 D = ( – 4 ) 2 – 4 · – 1 2 · – 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · – 1 2 = – 4 – 2 3 3 0 x 2 = 4 – 4 3 2 · – 1 2 = – 4 + 2 3 3 0

1 2 x 2 – 4 x + 22 3 , x > 0 D = ( – 4 ) 2 – 4 · 1 2 · 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 · 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 – 4 3 2 · 1 2 = 4 – 2 3 3 > 0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x = – 6 , x = – 4 , x = – 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Получим, что

Читайте также:  Школьный дневник 71 регион

y ‘ ( – 6 ) = – 1 2 x 2 – 4 x – 22 3 x = – 6 = – 1 2 · – 6 2 – 4 · ( – 6 ) – 22 3 = – 4 3 0 y ‘ ( – 4 ) = – 1 2 x 2 – 4 x – 22 3 x = – 4 = – 1 2 · ( – 4 ) 2 – 4 · ( – 4 ) – 22 3 = 2 3 > 0 y ‘ ( – 1 ) = – 1 2 x 2 – 4 x – 22 3 x = – 1 = – 1 2 · ( – 1 ) 2 – 4 · ( – 1 ) – 22 3 = 23 6 0 y ‘ ( 1 ) = 1 2 x 2 – 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 – 4 · 1 + 22 3 = 23 6 > 0 y ‘ ( 4 ) = 1 2 x 2 – 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 · 4 2 – 4 · 4 + 22 3 = – 2 3 0 y ‘ ( 6 ) = 1 2 x 2 – 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 – 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x = – 4 – 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тогда отсюда точки максимума имеют значени x = – 4 + 2 3 3 , x = 4 – 2 3 3

Перейдем к вычислению минимумов:

y m i n = y – 4 – 2 3 3 = 1 6 x 3 – 2 2 + 22 3 x – 8 x = – 4 – 2 3 3 = – 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = 1 6 x 3 – 2 2 + 22 3 x – 8 x = 0 = – 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 – 2 2 + 22 3 x – 8 x = 4 + 2 3 3 = – 8 27 3

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

y m a x = y – 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 – 2 2 + 22 3 x – 8 x = – 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 – 2 3 3 = 1 6 x 3 – 2 2 + 22 3 x – 8 x = 4 – 2 3 3 = 8 27 3

y m i n = y – 4 – 2 3 3 = – 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = – 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = – 8 27 3 y m a x = y – 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 – 2 3 3 = 8 27 3

Второй признак экстремума функции

Если задана функция f ‘ ( x 0 ) = 0 , тогда при ее f ” ( x 0 ) > 0 получаем, что x 0 является точкой минимума, если f ” ( x 0 ) 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Найти максимумы и минимумы функции y = 8 x x + 1 .

Для начала находим область определения. Получаем, что

D ( y ) : x ≥ 0 x ≠ – 1 ⇔ x ≥ 0

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

y ‘ = 8 x x + 1 ‘ = 8 · x ‘ · ( x + 1 ) – x · ( x + 1 ) ‘ ( x + 1 ) 2 = = 8 · 1 2 x · ( x + 1 ) – x · 1 ( x + 1 ) 2 = 4 · x + 1 – 2 x ( x + 1 ) 2 · x = 4 · – x + 1 ( x + 1 ) 2 · x

При х = 1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х = 1 . Получаем:

y ” = 4 · – x + 1 ( x + 1 ) 2 · x ‘ = = 4 · ( – x + 1 ) ‘ · ( x + 1 ) 2 · x – ( – x + 1 ) · x + 1 2 · x ‘ ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · ( – 1 ) · ( x + 1 ) 2 · x – ( – x + 1 ) · x + 1 2 ‘ · x + ( x + 1 ) 2 · x ‘ ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · – ( x + 1 ) 2 x – ( – x + 1 ) · 2 x + 1 ( x + 1 ) ‘ x + ( x + 1 ) 2 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = – ( x + 1 ) 2 x – ( – x + 1 ) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = 2 · 3 x 2 – 6 x – 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ y ” ( 1 ) = 2 · 3 · 1 2 – 6 · 1 – 1 ( 1 + 1 ) 3 · ( 1 ) 3 = 2 · – 4 8 = – 1 0

Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х = 1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид y m a x = y ( 1 ) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Ответ: y m a x = y ( 1 ) = 4 ..

Третье достаточное условие экстремума

Функция y = f ( x ) имеет ее производную до n -го порядка в ε окрестности заданной точки x 0 и производную до n + 1 -го порядка в точке x 0 . Тогда f ‘ ( x 0 ) = f ” ( x 0 ) = f ‘ ‘ ‘ ( x 0 ) = . . . = f n ( x 0 ) = 0 .

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x 0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x 0 точка экстремума, причем f ( n + 1 ) ( x 0 ) > 0 , тогда x 0 является точкой минимума, f ( n + 1 ) ( x 0 ) 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Найти точки максимума и минимума функции y y = 1 16 ( x + 1 ) 3 ( x – 3 ) 4 .

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

y ‘ = 1 16 x + 1 3 ‘ ( x – 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 x – 3 4 ‘ = = 1 16 ( 3 ( x + 1 ) 2 ( x – 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 4 ( x – 3 ) 3 ) = = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x – 3 ) 3 ( 3 x – 9 + 4 x + 4 ) = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x – 3 ) 3 ( 7 x – 5 )

Данная производная обратится в ноль при x 1 = – 1 , x 2 = 5 7 , x 3 = 3 . То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

y ” = 1 16 x + 1 2 ( x – 3 ) 3 ( 7 x – 5 ) ‘ = 1 8 ( x + 1 ) ( x – 3 ) 2 ( 21 x 2 – 30 x – 3 ) y ” ( – 1 ) = 0 y ” 5 7 = – 36864 2401 0 y ” ( 3 ) = 0

Значит, что x 2 = 5 7 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n = 1 и f ( n + 1 ) 5 7 0 .

Необходимо определить характер точек x 1 = – 1 , x 3 = 3 . Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

y ‘ ‘ ‘ = 1 8 ( x + 1 ) ( x – 3 ) 2 ( 21 x 2 – 30 x – 3 ) ‘ = = 1 8 ( x – 3 ) ( 105 x 3 – 225 x 2 – 45 x + 93 ) y ‘ ‘ ‘ ( – 1 ) = 96 ≠ 0 y ‘ ‘ ‘ ( 3 ) = 0

Значит, x 1 = – 1 является точкой перегиба функции, так как при n = 2 и f ( n + 1 ) ( – 1 ) ≠ 0 . Необходимо исследовать точку x 3 = 3 . Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

y ( 4 ) = 1 8 ( x – 3 ) ( 105 x 3 – 225 x 2 – 45 x + 93 ) ‘ = = 1 2 ( 105 x 3 – 405 x 2 + 315 x + 57 ) y ( 4 ) ( 3 ) = 96 > 0

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Ответ: x 2 = 5 7 является точкой максимума, x 3 = 3 – точкой минимума заданной функции.

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector