Основные формулы тригонометрии – это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.
Основные тождества тригонометрии
Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α
Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).
Формулы приведения
Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin – α + 2 π z = – sin α , cos – α + 2 π z = cos α t g – α + 2 π z = – t g α , c t g – α + 2 π z = – c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = – sin α t g π 2 + α + 2 π z = – c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = – t g α sin π 2 – α + 2 π z = cos α , cos π 2 – α + 2 π z = sin α t g π 2 – α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 – α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = – sin α , cos π + α + 2 π z = – cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π – α + 2 π z = sin α , cos π – α + 2 π z = – cos α t g π – α + 2 π z = – t g α , c t g π – α + 2 π z = – c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = – cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = – c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = – t g α sin 3 π 2 – α + 2 π z = – cos α , cos 3 π 2 – α + 2 π z = – sin α t g 3 π 2 – α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 – α + 2 π z = t g α
Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.
Тригонометрические формулы сложения
Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.
Тригонометрические формулы сложения
sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β – sin α · sin β cos α – β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = – 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.
Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.
sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α – sin 2 α , cos 2 α = 1 – 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α – 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 – t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α – 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α – sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α – 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α – 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = – 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α – t g 3 α 1 – 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α – 3 c t g α 3 c t g 2 α – 1
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.
Формулы половинного угла
sin 2 α 2 = 1 – cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 – cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 – cos α
Формулы понижения степени
sin 2 α = 1 – cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α – sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 – 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:
Общий вид формул понижения степени
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n 2 – 1 ( – 1 ) n 2 – k · C k n · cos ( ( n – 2 k ) α ) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n 2 – 1 C k n · cos ( ( n – 2 k ) α )
sin n α = 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n – 1 2 ( – 1 ) n – 1 2 – k · C k n · sin ( ( n – 2 k ) α ) cos n α = 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n – 1 2 C k n · cos ( ( n – 2 k ) α )
Сумма и разность тригонометрических функций
Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.
Сумма и разность тригонометрических функций
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α – β 2 sin α – sin β = 2 sin α – β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α – β 2 cos α – cos β = – 2 sin α + β 2 · sin α – β 2 , cos α – cos β = 2 sin α + β 2 · sin β – α 2
Произведение тригонометрических функций
Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход – от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.
Формулы произведения тригонометрических функций
sin α · sin β = 1 2 · ( cos ( α – β ) – cos ( α + β ) ) cos α · cos β = 1 2 · ( cos ( α – β ) + cos ( α + β ) ) sin α · cos β = 1 2 · ( sin ( α – β ) + sin ( α + β ) )
Универсальная тригонометрическая подстановка
Все основные тригонометрические функции – синус, косинус, тангенс и котангенс, – могут быть выражены через тангенс половинного угла.
Универсальная тригонометрическая подстановка
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 – t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 – t g 2 α 2 c t g α = 1 – t g 2 α 2 2 t g α 2
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Знаки тригонометрических функций:
Значения тригонометрических функций
Формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла (–α):
sin (–α) = – sin α
cos (–α) = cos α
tg (–α) = – tg α
ctg (–α) = – ctg α
Все формулы приведения можно получить, пользуясь следующими правилами:
1. В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии 
2. Если в левой части формулы угол равен 
/2 ± 
или 3/2±, то синус заменяется на косинус, тангенс на котангенс и наоборот, если угол равен ± или 2k±, то замены не происходит.
Формулы двойного угла.
Формулы перехода от суммы к произведению.
Формулы перехода от произведения к сумме.
Формулы понижения степени.
Преобразование выражения a·cos + b·sin путем введения вспомогательного аргумента.
,
где вспомогательный аргумент определяется из условий
Геометрическое определение синуса и косинуса
α – угол, выраженный в радианах.
Свойства синуса и косинуса
Принятые обозначения
( sin^2 x equiv (sin x)^2; ) ( quad sin^3 x equiv (sin x)^3; ) ( quad sin^n x equiv (sin x)^n ) ( sin^ <-1>x equiv arcsin x ) ( (sin x )^ <-1>equiv dfrac1 <sin x>equiv cosec x ) .
( cos^2 x equiv (cos x)^2; ) ( quad cos^3 x equiv (cos x)^3; ) ( quad cos^n x equiv (cos x)^n ) ( cos^ <-1>x equiv arccos x ) ( (cos x )^ <-1>equiv dfrac1 <cos x>equiv sec x ) .
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.
( sin(x + 2pi) = sin x; quad ) ( cos(x + 2pi) = cos x )
Четность
Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.
( sin( -x ) = – sin x; quad ) ( cos( -x ) = cos x )
Области определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n – целое).
| ( small -dfrac<pi>2 + 2pi n ) ( small ( small dfrac<pi>2 + 2pi n ) | ( small -pi + 2pi n ) ( small ( small 2pi n ) | |
| Убывание | ( small dfrac<pi>2 + 2pi n ) ( small ( small dfrac<3pi>2 + 2pi n ) | ( small 2pi n ) ( small ( pi + small 2pi n ) |
| Максимумы, ( small x = ) ( small dfrac<pi>2 + 2pi n ) | ( small x = 2pi n ) | |
| Минимумы, ( small x = ) ( small -dfrac<pi>2 + 2pi n ) | ( small x = ) ( small pi + 2pi n ) | |
| Нули, ( small x = pi n ) | ( small x = dfrac<pi>2 + pi n ) | |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы, содержащие синус и косинус
Сумма квадратов
( sin^2 x + cos^2 x = 1 )
Формулы синуса и косинуса суммы и разности
( sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y )
( sin(x – y) = sin x cos y – cos x sin y )
( cos(x + y) = cos x cos y – sin x sin y )
( cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y )
( sin( 2x ) = 2 sin x cos x )
( cos( 2x ) = cos^2 x – sin^2 x = ) ( 2 cos^2 x – 1 = 1 – 2 sin^2 x )
( cosleft( dfrac<pi>2 – x
ight) = sin x ) ; ( sinleft( dfrac<pi>2 – x
ight) = cos x )
( cos( x + pi ) = – cos x ) ; ( sin( x + pi ) = – sin x )
Формулы произведения синусов и косинусов
( sin x cos y = ) ( dfrac12 <Large [>sin( x – y ) + sin( x + y ) <Large ]>)
( sin x sin y = ) ( dfrac12 <Large [>cos( x – y ) – cos( x + y ) <Large ]>)
( cos x cos y = ) ( dfrac12 <Large [>cos( x – y ) + cos( x + y ) <Large ]>)
( sin x cos y = dfrac12 sin 2x )
( sin^2 x = dfrac12 <Large [>1 – cos 2x <Large ]>)
( cos^2 x = dfrac12 <Large [>1 + cos 2x <Large ]>)
Формулы суммы и разности
( sin x + sin y = 2 , sin dfrac2 , cos dfrac2 )
( sin x – sin y = 2 , sin dfrac2 , cos dfrac2 )
( cos x + cos y = 2 , cos dfrac2 , cos dfrac2 )
( cos x – cos y = 2 , sin dfrac2 , sin dfrac2 )
Выражение синуса через косинус
Далее мы полагаем, что ( n ) – целое число.
Выражение косинуса через синус
Выражение через тангенс
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
[ img style="max-w ]
Выражения через комплексные переменные
Формула Эйлера
( e^
Выражения через гиперболические функции
( sin iz = i sh z ) ( cos iz = ch z )
( sh iz = i sin z ) ( ch iz = cos z )
Производные
( ( sin x )’ = cos x ) ( ( cos x )’ = – sin x ) . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
( left( sin x
ight)^ <(n)>= sinleft( x + ndfrac<pi>2
ight) ) ( left( cos x
ight)^ <(n)>= cosleft( x + ndfrac<pi>2
ight) ) .
Интегралы
( int sin x , dx = – cos x + C ) ( int cos x , dx = sin x + C )
См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>
Разложения в ряды
Секанс, косеканс
( sec x = dfrac1 < cos x >; ) ( cosec x = dfrac1 < sin x >)
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.
Арксинус, arcsin
( y = arcsin x ) ( left< -1 leqslant x leqslant 1; ; – dfrac<pi>2 leqslant y leqslant dfrac<pi>2
ight> )
( sin( arcsin x ) = x ) ( < -1 leqslant x leqslant 1 >)
( arcsin( sin x ) = x ) ( left< – dfrac<pi>2 leqslant x leqslant dfrac<pi>2
ight> )
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Тригонометрическое определение
С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.
На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.
Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса
Косинус угла – это абсцисса точки. Синус угла – это ордината точки.
На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.
Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.
Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях
Табличные значения синуса и косинуса
Абсцисса точки 0 равна 1 , ордината точки 0 равна 0 . Следовательно,
