No Image

Формулы перехода к новой системе координат

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
11 марта 2020

Мы рассмотрели преобразования геометрических объектов, заданных в определенной декартовой системе координат. Но во многих случаях удобно рассматривать те же объекты в другой системе координат, поскольку их описание может стать более простым. Самый простой пример – задание координат параллелепипеда: проще всего это сделать в системе координат, совмещенной с одной из его вершин с осями, направленными вдоль ребер. В связи с этим остановимся на вопросе, как изменятся координаты точки при переходе от одной декартовой системы координат к другой.

Рисунок 4.9. Две системы координат в пространстве

Пусть единичные орты первой системы координат обозначаются , а оси координат –. Введем еще одну систему координат, единичные орты которой обозначим, а оси координат –. Эта система имеет свое начало координат и свои направления осей. Считаем, что в обеих системах координат орты образуют правую тройку (Рисунок 4.9).

Сначала рассмотрим ситуацию, когда точка совпадает с точкой. Векторыможно задать в первой системе координат, разложив их по векторам:

Если в первой системе точка имеет координаты, а во второй системе –, то, очевидно,

Умножая скалярно это соотношение на векторы , получим связь между значениями координат в разных системах:

Эти соотношения можно записать в матричном виде

или в векторной записи

Предположим, что вторая система координат получена из первой путем поворота на угол относительно оси. Тогда

Таким образом, при поворотах системы координат новые координаты точек получаются путем умножения матрицы поворота на противоположный угол на вектор исходных координат.

Если новая система координат получена из старой путем сдвига на вектор , то очевидно, что новые координаты точки задаются формулами

Теперь можно рассмотреть композицию двух преобразований системы координат – переноса и вращения. Тогда координаты точек преобразуются по формуле

8 Задача вращения относительно произвольной оси

Вращение относительно произвольной оси также можно реализовать посредством умножения матрицы на вектор, но предварительно эту матрицу надо построить. Предположим, что прямая проходит через начало координат и задана единичным вектором , и требуется выполнить поворот точки на уголотносительно нее. Для этого воспользуемся следующим алгоритмом:

Совместим прямую с осью посредством поворота системы координат относительно осина угол, а затем поворота относительно осина угол.

Выполним поворот относительно оси на угол.

Выполним повороты системы сначала относительно оси на угол, а затем относительно осина угол(в обратном порядке по отношению к первым поворотам), тем самым возвращая ее в исходное положение.

Итоговая матрица преобразования, таким образом, является произведением нескольких матриц, а именно

Матрицы являются матрицами преобразования координат при поворотах системы координат, как было показано в предыдущем разделе. Определим сначала угол, который является углом между осьюи его проекцией векторана плоскость. Пусть– длина этой проекции. Тогда, (синус отрицателен, поскольку поворот идет от осик оси, т.е. в отрицательном направлении). После поворота системы координат новыми координатами векторабудут. Угол– это угол между векторамии, поэтому. Теперь мы можем выписать вид матриц преобразования координат для каждого шага алгоритма, учитывая то, что матрицы преобразования координат при повороте системы координат обратны по отношению к соответствующим матрицам вращения:

Нетрудно убедиться, что последовательное умножение матриц ина вектордадут в результате вектор, т.е. этот вектор действительно станет осью аппликат.

Остается только выписать окончательный вид матрицы (для сокращения записи введем следующие обозначения:):

Напомним, что являются направляющими косинусами прямой, относительно которой выполняется поворот. Нетрудно убедиться, что если в качестве осей вращения взять оси координат, то мы в точности получим формулы (4.10).

Рекомендации студентам по подготовке к лабораторной работе с указанием литературы

Плаксин. А.А., Лобанов А. В. Mental ray/iray. Мастерство визуализации в Autodesk. 3DS Max.– М.: ДМК Пресс, 2012. – 258 c.

Стиренко А. С. 3DS Max 2010-2011.– М.: ДМК Пресс, 2011. – 612 c.

Шешунова Г. Г. Основы компьютерной графики: учеб. пособ. / Г. Г. Шешунова. – Самара: Cамар. гос. техн. ун-т, 2009. – 138 c.

Ивнинг М., Шеве Дж. Аdobe PHOTOSHOP СS4 для фотогафов /Вершины мастерства Пер. с англ. Изд. «Русская редакция»,CПб.:-Петербург, 2010. – 400 с.

Гурский Ю. А., Гурская И. В., Жвалевский А. В. Компьютерная графика: PHOTOSHOP СS4, CORELDRAW Х4, ILLUSTRATOR СS4. Трюки и эффекты.–CПб.: Питер, 2009. – 800 с.

Гурский Ю. А., Жвалевский А. В. PHOTOSHOP СS4 Библиотека пользователя. – CПб.: Питер, 2009. – 608 с.

Климачева Т. Н. AutoCad 2008. Руководство конструктора/ Т. Н. Климачева. – М.: Эксмо, 2008. – 624 c

Мэрдок К. Л. 3ds max 9. Библия пользователя: Пер. с англ. – М.: Изд-во «Диалектика», 2007. -1376 с.

Бонни, Шон, Анзовин, Стив. Внутренний мир 3ds max 9. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. 1072 – с.

Описание экспериментальных установок (лабораторного оборудования)

Лабораторная работа проводится в компьютерном классе на IBM-совместимых персональных ЭВМ.

Читайте также:  Как запретить доступ к камере

Краткое содержание работы, выполняемой студентами в ходе занятия. Порядок проведения эксперимента, постановки опыта, снятия замеров и обработки данных эксперимента

Задача преобразования координат.

Положение точки на плоскости определяется двумя координатами относительно некоторой системы координат. Координаты точки изменятся, если мы выберем другую систему координат.

Задача преобразования координат состоит в том, чтобы, зная координаты точки в одной системе координат, найти ее координаты в другой системе.

Эта задача будет разрешена, если мы установим формулы, связывающие координаты произвольной точки по двум системам, причем в коэффициенты этих формул войдут постоянные величины, определяющие взаимное положение систем.

Пусть даны две декартовы системы координат хОу и XO1Y (рис. 68).

Положение новой системы XO1Y относительно старой системы хОу будет определено, если известны координаты а и b нового начала O1 по старой системе и угол α между осями Ох и О1Х. Обозначим через х и у координаты произвольной точки М относительно старой системы, через X и Y—координаты той же точки относительно новой системы. Наша задача заключается в том, чтобы старые координаты х и увыразить через новые X и Y. В полученные формулы преобразования должны, очевидно, входить постоянные a, b и α.

Решение этой общей задачи мы получим из рассмотрения двух частных случаев.

1. Меняется начало координат, направления же осей остаются неизменными (α= 0).

2. Меняются направления осей, начало же координат остается неизменным (а = b = 0).

Перенос начала координат.

Пусть даны две системы декартовых координат с разными началами O и O1 и одинаковыми направлениями осей (рис. 69).

Обозначим через а и b координаты нового начала О1 в старой системе и через х, у и X,Y—координаты произвольной точки М соответственно в старой и новой системах. Проектируя точку М на оси О1Х и Ох, а также точку О1 на ось Ох, получим на оси Охтри точки О, А и Р. Величины отрезков ОА, АР и ОР связаны следующим соотношением:

Аналогично, проектируя М и О1 на ось ординат, получим:

Итак, старая координата равна новой плюс координата нового начала по старой системе.

Из формул (2) и (3) новые координаты можно выразить через старые:

Поворот осей координат.

Пусть даны две декартовы системы координат с одинаковым началом О и разными направлениями осей (рис. 70).

Пусть α есть угол между осями Ох и ОХ. Обозначим через х, у и X, Y координаты произвольной точки М соответственно в старой и новой системах:

Рассмотрим ломаную линию ОР1MP и возьмем ее проекцию на ось Ох. Замечая, что проекция ломаной линии равна проекции замыкающего отрезка (гл. I, § 8) имеем:

С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций ее звеньев (гл. I, § 8); следовательно, равенство (4) запишется так:

Так как проекция направленного отрезка равна его величине, умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой лежит отрезок (гл. I, § 8), то

Отсюда равенство (4′) нам дает:

Аналогично, проектируя ту же ломаную на ось Оу, получим выражение для у. В самом деле, имеем:

Из формул (5) и (6) мы получим новые координаты X и Y выраженными через старые х и у, если разрешим уравнения (5) и (6) относительно X и Y.

Замечание. Формулы (5) и (6) могут быть получены иначе.

Из рис. 71 имеем:

х = ОР = ОМ cos (α + φ) = ОМ cos α cos φ — ОМ sin α sin φ,

у = РМ = ОМ sin (α + φ) = ОМ sin α cos φ + ОМ cos α sin φ.

Так как (гл. I, § 11) OM cos φ = X, ОМ sin φ=Y, то

Общий случай.

Пусть даны две декартовы системы координат с разными началами и разными направлениями осей (рис. 72).

Обозначим через а и b координаты нового начала О, по старой системе, через α—угол поворота координатных осей и, наконец, через х, у и X, Y — координаты произвольной точки М соответственно по старой и новой системам.

Чтобы выразить х и у через X и Y, введем вспомогательную систему координат x1O1y1, начало которой поместим в новом начале О1, а направления осей возьмем совпадающими с направлениями старых осей. Пусть x1 и y1, обозначают координаты точки М относительно этой вспомогательной системы. Переходя от старой системы координат к вспомогательной, имеем (§ 2):

Переходя, далее, от вспомогательной системы координат к новой, найдем (§ 3):

Заменяя х1 и y1 в предыдущих формулах их выражениями из последних формул, найдем окончательно:

Формулы (I) содержат как частный случай формулы §§ 2 и 3. Так, при α = 0 формулы (I) обращаются в

а при а = b = 0 имеем:

Из формул (I) мы получим новые координаты X и Y выраженными через старые х и у, если уравнения (I) разрешим относительно X и Y.

Отметим весьма важное свойство формул (I): они линейны относительно X и Y, т. е. вида:

Читайте также:  Авито александров мебель б у

Легко проверить, что новые координаты X и Y выразятся через старые х и у тоже формулами первой степени относительно х и у.

Переход от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой

Выбором прямоугольной декартовой системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Это означает, что каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует единственная точка.

Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства. Часто одно и то же множество приходится рассматривать в разных координатных системах. Одна и та же точка в разных системах имеет, очевидно, различные координаты. Множество точек (в частности, окружность, парабола, прямая) в разных системах координат задается различными уравнениями.

Выясним, как преобразуются координаты точек плоскости при переходе от одной координатной системы к другой.

Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат: О, i, j и О’, i’, j’ (рис. 41).

Первую систему с началом в точке О и базисными векторами i и j условимся называть старой, вторую — с началом в точке О’ и базисными векторами i’ и j’ — новой.

Положение новой системы относительно старой будем считать известным: пусть точка О’ в старой системе имеет координаты (a;b), a вектор i’ образует с вектором i угол α. Угол α отсчитываем в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Рассмотрим произвольную точку М. Обозначим ее координаты в старой системе через (х;у), в новой — через (х’;у’). Наша задача — установить зависимость между старыми и новыми координатами точки М.

Соединим попарно точки О и О’, О’ и М, О и М. По правилу треугольника получаем

Разложим векторы OM > и OO’ > по базисным векторам i и j, а вектор O’M > по базисным векторам i’ и j’ :

Теперь равенство (1) можно записать так:

Новые базисные векторы i’ и j’ раскладываются по старым базисным векторам i иj следующим образом:

Подставив найденные выражения для i’ и j’ в формулу (2), получим векторное равенство

равносильное двум числовым равенствам:

х = а + х’cos α — у’ sin α, у = b + х’ sin α + у’ cos α (3)

Формулы (3) дают искомые выражения для старых координат х и у точки через ее новые координаты х’ и у’. Для того чтобы найти выражения для новых координат через старые, достаточно решить систему уравнении (3) относительно неизвестных х’и у’.

Итак, координаты точек при переносе начала координат в точку (а; b) и повороте осей на угол α преобразуются по формулам (3).

Если изменяется только начало координат, а направления осей остаются прежними, то, полагая в формулах (3) α = 0, получаем

х = а + х’ у = b + у’ (4)

Эти формулы кратко называют формулами переносa.

Если начало координат остается прежним, а оси поворачиваются на угол α, то, полагая в формулах (3) а = b = 0, получаем

х = х’cos α — у’ sin α, у = х’ sin α + у’ cos α (5)

Формулы (5) называют формулами поворота.

Задача 1. Пусть координаты нового начала в старой системе (2; 3), а координаты точки А в старой системе (4; —1). Найти координаты точки А в новой системе, если направления осей остаются прежними.

По формулам (4) имеем

Задача 2. Пусть координаты точки Р в старой системе (—2; 1), а в новой системе, направления осей которой те же самые, координаты этой точки (5; 3). Найти координаты нового начала в старой системе.

А По формулам (4) получаем

2 = а + 5 1 = b + 3

Задача 3.Координаты точки А в новой системе (4; 2). Найти координаты этой точки в старой системе, если начало координат осталось прежним, а оси координат старой системы повернуты на угол α = 45°.

По формулам (5) находим

Задача 4.Координаты точки A в старой системе (2 √3 ; — √3 ). Найти координаты этой точки в новой системе, если начало координат старой системы перенесено в точку (—1;—2), а оси повернуты на угол α = 30°.

По формулам (3) имеем

Решив эту систему уравнений относительно х’ и у’, найдем: х’ = 4, у’ = —2.

Задача 5. Дано уравнение прямой у = 2х — 6. Найти уравнение той же прямой в новой системе координат, которая получена из старой системы поворотом осей на угол α = 45°.

Формулы поворота в данном случае имеют вид

Заменив в уравнении прямой у = 2х — 6 старые переменные х и у новыми, получим уравнение

которое после упрощений принимает вид y’ = x’ /3 2√2

| следующая лекция ==>
Определители и их свойства | Признаки живых организмов. Основные отличия живых организмов от тел неживой природы
Читайте также:  Электронная трудовая книжка 2018

Дата добавления: 2016-10-30 ; просмотров: 2524 | Нарушение авторских прав

Определение общей декартовой системы координат. Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой.

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М. Радиус-вектором точки М по отношению к точке О называется вектор . Если в пространстве кроме точки О выбран некоторый базис, то точке М сопоставляется упорядоченная тройка чисел — компоненты её радиус-вектора.

Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка носит название начала координат . Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координа т; первая — осью абсцисс , вторая — осью ординат , третья — осью аппликат . Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями .

Пусть дана декартова система координат О, . Компоненты x, y, z радиус-вектора точки М называются координатами точки М в данной системе координат: . Первая координата называется абсциссой , вторая – ординатой , а третья — аппликатой .

На плоскости точка имеет только 2 координаты, а на прямой — одну.

Координаты точки, как и компоненты вектора — величины безразмерные. Они не зависят от выбранной единицы измерения длин.

При заданной СК координаты точки определены однозначно. С другой стороны, если задана СК, то для каждой упорядоченной тройки чисел найдется единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат. СК на плоскости определяет такое же соответствие между точками плоскости и парами чисел. Задание СК на прямой линии сопоставляет каждой точке вещественное число и каждому числу — точку.

Предложение 1 . Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

Док-во : Рассмотрим 2 точки А и В, координаты которых относительно некоторой декартовой системы координат О, соответственно и . Поставим задачу найти компоненты вектора . Очевидно, что . Компоненты радиус-векторов и равны и по определению координат. Из предложения 5 параграфа 1 (при умножении вектора на число все его компоненты умножаются на это число, при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты) следует, что имеет компоненты .

Базис называется ортонормированны м, если его векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован, называется декартовой прямоугольной системой координат .

Координаты точки относительно ПДСК в пространстве по модулю равны расстояниям от этой точки до соответствующих координатных плоскостей. Они имеют знак плюс или минус в зависимости от того, лежит точка по ту же или по другую сторону от плоскости, что и конец базисного вектора, перпендикулярного этой плоскости. Аналогично — относительно ПДСК на плоскости.

Выбор базиса ничем не ограничен, поэтому принципиальное значение имеет задача о нахождении компонентов вектора в одном базисе по его компонентам в другом базисе. При этом должны быть известны компоненты новых базисных векторов в старом базисе . Пусть , , . Произвольный вектор разложим по базису : . В старом базисе компонеты этого вектора обозначим . Раскладывая каждый член предыдущего равенства по базису в силу предложения 5 параграфа 1 (при умножении вектора на число все его компоненты умножаются на это число, при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты) получаем: , , (1 ). Эти соотношения и являются решениями задачи. Если нужно будет найти выражение новых компонентов через старые — то надо будет решить систему уравнений (1) относительно неизвестных . Точно таким же способом получаются формулы, связывающие компоненты вектора в разных базисах на плоскости: , (2).

Коэффициенты в формулах (2) можно записать в таблицу : (3), которая называется матрицей перехода от базиса к базисуВ её столбцах стоят компоненты векторов в старом базисе.

Рассмотрим теперь 2 декартовы СК: старую О, и новую O’, . Пусть М — произвольная точка, её координаты в этих системах обозначены (x, y, z) и (x’, y’, z’). Выразим x, y и z через x’, y’ и z’, считая известным положение новой системы относительно старой. Оно определяется координатами точки O’ в системе координат О, и компонентами векторов , составляющими матрицу перехода (3). Радиус-векторы точки М относительно точек О и O’ связаны равенством , которое можно записать в виде (4), т.к. x’, y’ и z’ — компонеты вектора в базисе . Разложим каждый член равенства (4) по базису имея в виду, что компоненты векторов иравны координатам точек М и O’ , которые мы обозначали (x, y, z) и . Мы получим , , (5) – эти равенства предсталвяют собой закон преобразования координат точки при переходе от одной декартовой системы координат в пространстве к другой такой же системе.

Формулы перехода от одной декартовой системы координат на плоскости к другой получаются из (5), если там оставить только первые 2 равенства и в них вычеркнуть члены с z’ : , .

Стандартная версия | Мобильная версия
© 2010-2020 mipt1.ru Операция "Раздолбай"

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector