No Image

Что значит разложить вектор по двум векторам

СОДЕРЖАНИЕ
1 просмотров
11 марта 2020

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a 1, . an , необходимо найти коэффициенты x 1, . xn , при которых линейная комбинация векторов a 1, . an равна вектору b :

при этом коэффициенты x 1, . xn , называются координатами вектора b в базисе a 1, . an .

Пример задачи на разложение вектора по базисным векторам

Решение: Составим векторное уравнение:

которое можно записать в виде системы линейных уравнений

Формула

Пусть есть вектор $ overline $ и векторы $ overline

, overline, overline $. Как разложить вектор $ overline $ по векторам $ overline

, overline, overline $ ?

Достаточно представить вектор $ overline $ в виде линейной комбинации:

$$ overline = alpha overline

+ eta overline + gamma overline $$

В координатной форме эта запись выглядит так:

$$ egin x= alpha p_x + eta q_x + gamma r_x \ y=alpha p_y + eta q_y + gamma r_y \ z = alpha p_z + eta q_z + gamma r_z end $$

Суть разложения в том, что необходимо найти коэффициенты $ alpha, eta, gamma $ такие, чтобы выполнялись три равенства из системы одновременно

Примеры решения

Составим систему линейных уравнений, используя векторы из условия задачи:

$$ egin 10= 2alpha + 3 eta + 5 gamma \ 3=3 alpha + 7 eta + 4 gamma \ 3 = 1 alpha + 2 eta + 2 gamma end $$

Запишем систему в привычном виде:

$$ egin 2alpha + 3 eta + 5 gamma = 10 \ 3 alpha + 7 eta + 4 gamma = 3 \ alpha + 2 eta + 2 gamma = 3 end $$

Решив систему уравнений любым методом, найдем неизвестные $ alpha, eta, gamma $. К примеру, возьмём метод Крамера.

Найдем главный определитель:

$$ Delta = egin 2 & 3 & 5 \ 3 & 7 & 4 \ 1 & 2 & 2 end = $$

$$ = 2 cdot 7 cdot 2 + 3 cdot 4 cdot 1 + 3 cdot 2 cdot 5 – 5 cdot 7 cdot 1 – 4 cdot 2 cdot 2 – 3 cdot 3 cdot 2 = $$

$$ = 28 + 12 + 30 – 35 – 16 – 18 = 1 $$

Так как $ Delta = 1 $ не равно нулю, то СЛАУ имеет единственное решение.

Вычислим дополнительные определители составленные из столбцов главного путём поочередной замены одного из столбцов на свободные члены системы:

$$ Delta_1 = egin 10 & 3 & 5 \ 3 & 7 & 4 \ 3 & 2 & 2 end = $$

$$ = 10 cdot 7 cdot 2 + 3 cdot 4 cdot 3 + 3 cdot 2 cdot 5 – 5 cdot 7 cdot 3 – 4 cdot 2 cdot 10 – 3 cdot 3 cdot 2 = $$

$$ = 140 + 36 + 30 – 105 – 80 – 18 = 3 $$

$$ Delta_2 = egin 2 & 10 & 5 \ 3 & 3 & 4 \ 1 & 3 & 2 end = $$

$$ = 2 cdot 3 cdot 2 + 10 cdot 4 cdot 1 + 3 cdot 3 cdot 5 – 5 cdot 3 cdot 1 – 4 cdot 3 cdot 2 – 10 cdot 3 cdot 2 = $$

$$ = 12 + 40 + 45 – 15 – 24 – 60 = -2 $$

$$ Delta_3 = egin 2 & 3 & 10 \ 3 & 7 & 3 \ 1 & 2 & 3 end = $$

$$ = 2 cdot 7 cdot 3 + 3 cdot 3 cdot 1 + 3 cdot 2 cdot 10 – 10 cdot 7 cdot 1 – 3 cdot 2 cdot 2 – 3 cdot 3 cdot 3 = $$

$$ = 42 + 9 + 60 – 70 – 12 – 27 = 2 $$

Теперь вычислим коэффициенты $ alpha, eta, gamma $:

Зная постоянные $ alpha, eta, gamma $, запишем разложение вектора $ overline $ по векторам $ overline

, overline, overline $:

$$ overline = 3overline

– 2overline + 2overline $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Вопрос по геометрии:

Что значит разложить вектор по двум данным векторам ?

Ответы и объяснения 1

1) Пусть a и b – два данных вектора. Если вектор р представлен в виде p=xa+yb, где х и у -некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам a и b. Числа х и у называются коэффициентами разложения. 2) Отложим от точки О два единичных вектора, направление которых совпадает с направлениями координатных осей. Эти векторы обозначаются i и j и называются координатными векторами. Так как координатные вектора не коллинеарны, то любой вектор р можно представить в виде p=xi+yj. Числа х и у называются координатами вектора в данной системе координат.
Для координат векторов справедливы следующие свойства:
1. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат.
2. Каждая координата разности векторов равна разности соответствующих координат.
3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
4. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат – это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи – смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Пример
Разложить вектор $ overline = (10,3,3) $ по векторам $ overline

= (2,3,1) $, $ overline = (3,7,2) $, $ overline = (5,4,2) $

Решение
Читайте также:  Функция процент от числа в excel
Комментировать
1 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector