No Image

Что такое значащие цифры

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
11 марта 2020

Значащими цифрами в приближенном числе называются все цифры кроме нулей в начале числа.

Приближенное число Количество значащих цифр Обратите внимание, на два последние примера. Здесь проявляется одна из особенностей приближенных чисел. В отличие от точных чисел, где нули в конце дробной части можно было бы просто отбросить, эти нули отбрасывать нельзя.
547,3
0,0041
0,40005
0,0040
1,500

Они означают, что эти разряды известны и равны именно 0. Если вместо числа 1,500 записано 1,5, то это означает, что в этом числе разряд сотых и последующие разряды неизвестны. Если измерена длина предмета с точностью до 1 миллиметра, и она оказалась равной ровно одному метру, то результат следует записать: L=1,000м, запись L=1м будет неверной.

§2 Верные знаки в приближенном числе

Если приближенное число записано без указания погрешности, то подразумевается, что значения всех разрядов известны точно – все знаки верные, а погрешность в этом случае не превышает половины единицы последнего десятичного разряда.

Приближенное число Число верных знаков Погрешность не превышает
1,23 0,005
0,5
0,056 0,0005
8,32´10 4 0,005´10 4 = 50
1,50 0,005

Однако более грамотно записывать приближенные числа с указанием погрешности. Цифры приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы низшего из этих цифр разряда.Цифры в последующих разрядах называют сомнительными.

Приближенное число Число верных знаков Сомнительные цифры
47,52±0,15 0,52 – разряды десятых и сотых
1,054± 0,008 0,054 – разряды сотых и тысячных
145±4 5 – разряд единиц
145±7 45 – разряды единиц и десятков
231,18±0,45 0,18 – разряды десятых и сотых

§ 3 Правила округления

При действиях с приближенными числами часто приходится отбрасывать лишние цифры (заведомо неверные) – округлять число. При этом соблюдают следующие правила.

ü Отбрасываемая (n+1)-я цифра меньше 5 – оставшаяся n-я цифра не изменяется. Например: 5,764»5,76 или 423,1»423.

ü Отбрасываемая (n+1)-я цифра больше 5 – оставшаяся n-я цифра увеличивается на единицу. Например:15,6»16 или 189»190.

ü Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я отлична от 0 – оставшаяся n-я цифра увеличивается на единицу. Например: 23,52» 24 или 0,3453»0,35.

ü Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я и более мелкие разряды равны 0. В этом случае принято округлять до четной цифры. Если оставшаяся n-я цифра четная – ее сохраняют, если нечетная – ее увеличивают на единицу. Примеры: 13,50»14; 275»280; 0,5450»0,54

§ 4 Правила записи окончательного результата

Очень важно уметь правильно записать окончательный результат, не загромождая его лишними, заведомо неверными цифрами, но и не потерять необходимые знаки.

При записи окончательного результата в первую очередь округляют погрешность. Рекомендуемый* способ оценки погрешности предполагает ее округление до двух значащих цифр (если первая цифра меньше 5) или одной (если первая цифра больше 5). Погрешность обычно округляют в большую сторону. После этого сам полученный результат округляют до того же разряда, что и погрешность, то есть оставляют в нем два сомнительных знака. Полученное число и его погрешность приводят к одинаковому разрядному множителю и выносят этот множитель за скобки. Обязательно указать размерность.

Читайте также:  Антигравитационный двигатель своими руками
Получено в результате расчетов Следует записать
x=0,0054837 см, D x = 0,0002487 см x =(5,48 ± 0,25) 10 –3 см
x =60540548 Н Dx = 52487 Н x =(6054±5) 10 4 Н
x =45,605 Ом Dx = 0,375 Ом x =(45,60 ±0,38) Ом
x = 1,399821 Dx = 0,007524 x =(1,400 ± 0,008)

§ 5.Предельная относительная погрешность

Последний верный разряд в приближенном числе связан с абсолютной погрешностью. Относительная погрешность связана с числом верных знаков в нем.

На практике для быстрой оценки погрешности бывает полезно оценить предельную относительную погрешность dпр. Она определяется следующим образом. В приближенном числе все цифры, кроме первой значащей заменяются нулями, а абсолютная погрешность полагается равной половине единицы низшего верного разряда. Например, в числе 45738 три цифры верные, тогда dпр =(50 /40000) ´ 100% = 0,12%. Очевидно, что dпр³d.

В процессе промежуточных вычислений часто встает вопрос, какие разряды в числе следует оставлять, а какие, заведомо неверные, можно сразу отбросить, чтобы упростить расчеты. Оценить dпр очень легко, а ее знание позволяет предсказать сколько верных знаков должно иметь приближенное число.

Поскольку любое округление вносит систематическую ошибку, то при вычислении окончательного результата приходится производить действия с числом значащих цифр, превышающим на единицу число значащих цифр, полученных при измерениях, чтобы в последующем округлить результат.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9530 — | 7348 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

Смотреть что такое "Значащие цифры" в других словарях:

ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ — (значащие разряды), цифры числа, которые выражают его с требуемой точностью; последние цифры могут быть округлены. Так, число 2,871828, округленное до шести цифр, будет представлено как 2,87183; округленное до трех цифр как 2,87 … Научно-технический энциклопедический словарь

ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ — в приближенных вычислениях все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. Напр., в записи результата взвешивания 0,03020 кг значащими цифрами будут 3, 0, 2 и 0 … Большой Энциклопедический словарь

значащие цифры — в приближённых вычислениях, все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. Например, в записи результата взвешивания 0,03020 кг значащими цифрами будут 3, 0, 2 и 0. * * * ЗНАЧАЩИЕ… … Энциклопедический словарь

Читайте также:  Расчетное количество рабочих дней в месяце

ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ — в приближённых вычислениях все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней, за правильность к рой можно ручаться. Напр., в записи результатов взвешивания 0,320 кг 3. ц. будут 3, 2 и 0 … Большой энциклопедический политехнический словарь

ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ — в приближённых вычислениях, все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней, за правильность к рой можно ручаться. Напр., в записи результата взвешивания 0,03020 кг значащими цифрами будут 3, 0, 2 и 0 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Закон Бенфорда — Закон Бенфорда, или закон первой цифры, описывает вероятность появления определённой первой значащей цифры в распределениях величин, взятых из реальной жизни. Закон верен для многих таких распределений, но не для всех. Ра … Википедия

АРИФМЕТИКА — искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами. Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была… … Энциклопедия Кольера

Логарифм — График двоичного логарифма Логарифм числа … Википедия

Метод одной касательной — Метод Ньютона (также известный как метод касательных) это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643 1727), под именем… … Википедия

Метод Ньютона — Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном… … Википедия

Определение 1.6. Значащими цифрами в записи приближенного числа называются:

— все ненулевые цифры;

— нули, содержащиеся между ненулевыми цифрами;

— нули, являющиеся представителями сохраненных десятичных разрядов при округлении.

В следующих примерах значащие цифры подчеркнуты.

Пример 1.6. 2.305; 0.0357; 0.001123; 0.035299879 = 0.035300.

При округлении числа 0.035299879 до шести знаков после запятой получается число 0.035300, в котором последние два нуля являются значащими. Если отбросить эти нули, то полученное число 0.0353 не является равнозначным с числом 0.035300 приближенным значением числа 0.035299879, так как погрешности указанных приближенных чисел отличаются.

Определение 1.7. Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего n-й значащей цифре, считая слева направо.

Наряду с данным определением иногда используется другое.

Определение 1.8. Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего n-й значащей цифре.

Читайте также:  Запуск mac os на virtualbox

Пример 1.7. Определить верные цифры приближенного значения аp = 2.721 числа е, если известно, что е = = 2.718281828.

Очевидно, что | аp – е | = | 2.721 – 2.71828. | -11 Н • м 2 /кг 2 ;

б) скорость света в вакууме С = 3.00 • 10 8 м/с;

в) постоянная Планка h = 6.63 • 10 -34 Дж • с.

Замечание. Термин «верные значащие цифры» нельзя понимать буквально. Например, современное опытное значение скорости света в вакууме составляет С = 2.997925 • 10 8 м/с. Очевидно, что ни одна значащая цифра в примере 1.9, б не совпадает с соответствующей точной цифрой, но абсолютная погрешность меньше половины разряда, соответствующего последней значащей цифре в записи 3.00 • 10 8 :

|3.00 • 10 8 – 2.997925 • 10 8 | 8 8 /2 = 0.005 • 10 8 .

Правило округления чисел

Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом:

1) если первая отброшенная цифра меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняют без изменения;

2) если первая отброшенная цифра больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу;

3) если первая отброшенная цифра равна 5 и среди остальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу;

4) если первая из отброшенных цифр равна 5 и все отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если — нечетная (правило четной цифры).

Это правило гарантирует, что сохраненные значащие цифры числа являются верными в узком смысле, т. е. погрешность округления не превосходит половины разряда, соответствующего последней оставленной значащей цифре. Правило четной цифры должно обеспечить компенсацию знаков ошибок.

Пример 1.10. Приведем примеры округления до четырех значащих цифр:

а) 3.1415926 = 3.142;

Δp = |3.142 – 3.1415926| 8 = 2.998 • 10 8 ;

Δp = |2.998 • 10 8 – 2.997925 • 10 8 | = 0.000075 • 10 8 8 .

Следующая теорема выявляет связь относительной погрешности числа с числом верных десятичных знаков.

Теорема 1.1. Если положительное приближенное число имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность δ не превосходит величины 10 1- n деленной на первую значащую цифру αn,:

Формула (1.11) позволяет вычислить предельную относительную погрешность

Пример 1.11. Найти относительную и абсолютную погрешности приближенных чисел: а) 3.142, б) 2.997925 • 10 8 .

а) Здесь n = 4, αn = 3. Используем формулу (1.12) для оценки относительной погрешности: δ =10 1- n / αn = 0.001/3 ≈ 0.00033.

Для определения абсолютной погрешности применим формулу (1.10):

б) Аналогично вычислим: n = 7, αn = 2, δа = 10 1- n / αn = 0.000001/2 = 0.0000005;

Δa = |ар| δа = 2.997925 10 8 • 0.0000005 ≈ 150.

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector