No Image

Чему равна производная арктангенса

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
11 марта 2020

Вывод производной арктангенса

Здесь мы полагаем, что нам известна производная тангенса:
.
Далее мы выводим формулу производной арктангенса, учитывая, что арктангенс является функцией, обратной к тангенсу.

По формуле производной обратной функции

Рассмотрим функцию арктангенс:
y = arctg x .
Здесь независимая переменная x может принимать любые действительные значения:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от – π/2 до + π/2 :
.
Арктангенс является функцией, обратной к тангенсу:
x = tg y .

Для определения его производной, применим формулу производной обратной функции:
(1) .

Производная тангенса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y . Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2) .
Здесь
y = arctg x ;
x = tg y .

Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x . Для этого воспользуемся формулой и выполним преобразования:
.
Отсюда
.
Подставим в (2):
.

Тем самым мы вывели формулу производной арктангенса:
.

Второй способ

Поскольку арктангенс и тангенс являются взаимно обратными функциями, то
(3) .
Продифференцируем это уравнение по переменной x . То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4) .

Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Далее выполним преобразования:
.
Тогда
.

Вывод производной арккотангенса

Используя связь между арктангенсом и арккотангенсом

Производную арккотангенса можно получить из производной арктангенса, если воспользоваться связью между арктангенсом и арккотангенсом:
.
Отсюда
.

По формуле производной обратной функции

Рассмотрим функцию арккотангенс:
y = arcctg x .
Здесь независимая переменная x может принимать любые действительные значения:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π :
.
Арккотангенс является функцией, обратной к котангенсу:
x = ctg y .

Для определения его производной, применим формулу производной обратной функции:
(1) .

Считаем, что производная котангенса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y . Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5) .
Здесь
y = arcctg x ;
x = ctg y .

Выразим правую часть формулы (5) через переменную x . Для этого выполним преобразования:
.
Отсюда
.
Подставим в (5):
.

Читайте также:  Гугл карта тольятти со спутника

Таким образом, мы вывели формулу производной арккотангенса:
.

Второй способ

Поскольку арккотангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями, то
(6) .
Продифференцируем это уравнение по переменной x :
(7) .

Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Далее выполним преобразования:
.
Тогда
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 07-05-2017

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах f <displaystyle f> и g <displaystyle g> — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c <displaystyle c> — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Содержание

Производные простых функций [ править | править код ]

  • d d x c = 0 <displaystyle c=0>
  • d d x x = 1 <displaystyle x=1>
  • d d x c x = c <displaystyle cx=c>

( c x ) ′ = c x ′ = c <displaystyle (cx)’=cx’=c>

  • d d x x c = c x c − 1 , <displaystyle x^=cx^,>когда x c <displaystyle x^>и c x c − 1 <displaystyle cx^>определены, c ≠ 0 <displaystyle c
    eq 0>
  • d d x | x | = x | x | = sgn ⁡ x , x ≠ 0 <displaystyle |x|==operatorname x,qquad x
    eq 0>
  • d d x ( 1 x ) = d d x ( x − 1 ) = − x − 2 = − 1 x 2 <displaystyle left(<1 over x>
    ight)=
    left(x^<-1>
    ight)=-x^<-2>=-<1 over x^<2>>>
  • d d x ( 1 x c ) = d d x ( x − c ) = − c x c + 1 <displaystyle left(<1 over x^>
    ight)=
    left(x^<-c>
    ight)=->>
  • 0>"> d d x x = d d x x 1 2 = 1 2 x − 1 2 = 1 2 x , x > 0 <displaystyle <sqrt >=x^<1 over 2>=<1 over 2>x^<-<1 over 2>>=<1 over 2<sqrt >>,qquad x>0>0"/>
  • d d x x n = d d x x 1 n = 1 n x 1 − n n = 1 n ⋅ x n − 1 n <displaystyle <sqrt[]>=x^<1 over n>=<1 over n>x^<1-n over n>=<frac <1>]>>>>>

Производные экспоненциальных и логарифмических функций [ править | править код ]

  • 0>"> d d x c x = c x ln ⁡ c , c > 0 <displaystyle c^=ln c>,qquad c>0>0"/>

d d x c x = d d x e x ln ⁡ c = e x ln ⁡ c ln ⁡ c = c x ln ⁡ c <displaystyle c^=e^=e^ln c=c^ln c>

Суть и понятие производной

Производная является одним из ключевых понятий математического анализа. Производные используются в решении различных математических и специальных задачах. Поэтому важно корректно и своевременно усвоить это понятие.

Необходимость в производной возникла, когда проводились вычисления скорости и ускорения движущегося тела. Из курса физики известно, что средняя скорость вычисляется по формуле $v_<ср>=frac$, где s – это весь путь, а t – промежуток времени, за которой пройден весь путь. Очевидно, что величина $v_<ср>$ не показывает, как движение изменялось в разных промежутках времени. Для вычисления мгновенной скорости, ввели понятие предела. Чтобы вычислить среднюю скорость изменения функции за всё время движения применяют понятие производной.

Дадим определение производной. Напомним, что в $y=f(x)$, $ x$ – это свободная переменная, называемая аргументом, а $y$ – зависимая переменная, называемая функцией.

Производная функции $y=f(x_0)$ в т. $(x_0)$ равна пределу отношения приращения функции в т. $(x_0)$ к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Производную записывают как: $y’, f'(x_0), frac $. Все эти обозначения используются в разных разделах математической теории.

Разберёмся с определением производной, а именно, как с её помощью вычисляется средняя скорость изменения функции за всё время движения.

$Delta y$ (приращение функции) означает выбранную часть пути.

$Delta x$, то есть приращение аргумента, означает всё время общего пути (от $x_0$ до $x_0+Delta x$). Не будет ошибкой в рамках курса физики вместо $x$ записывать $t$, что привычнее при обозначении времени.

Нахождение производной от арктангенс x

Формула производной элементарной функции $arctan x$ : $(arctan x)’ = frac<1><1+x^2>$

Рассмотрим пример решения производной функции с арктангенс x.

Требуется найти $y’$ функции $y=arcsin x+arccos x+arctan x$.

Решение. Для нахождения этой производной необходимо вспомнить некоторые основные формулы:

Приступаем к подстановке.

Мы нашли производную заданной функции.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Таким образом, мы разобрались с понятием производной и нахождением производной от $arctan x$.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector