Вывод производной арктангенса
Здесь мы полагаем, что нам известна производная тангенса:
.
Далее мы выводим формулу производной арктангенса, учитывая, что арктангенс является функцией, обратной к тангенсу.
По формуле производной обратной функции
Рассмотрим функцию арктангенс:
y = arctg x .
Здесь независимая переменная x может принимать любые действительные значения:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от – π/2 до + π/2 :
.
Арктангенс является функцией, обратной к тангенсу:
x = tg y .
Для определения его производной, применим формулу производной обратной функции:
(1) .
Производная тангенса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y . Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2) .
Здесь
y = arctg x ;
x = tg y .
Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x . Для этого воспользуемся формулой и выполним преобразования:
.
Отсюда
.
Подставим в (2):
.
Тем самым мы вывели формулу производной арктангенса:
.
Второй способ
Поскольку арктангенс и тангенс являются взаимно обратными функциями, то
(3) .
Продифференцируем это уравнение по переменной x . То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4) .
Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Далее выполним преобразования:
.
Тогда
.
Вывод производной арккотангенса
Используя связь между арктангенсом и арккотангенсом
Производную арккотангенса можно получить из производной арктангенса, если воспользоваться связью между арктангенсом и арккотангенсом:
.
Отсюда
.
По формуле производной обратной функции
Рассмотрим функцию арккотангенс:
y = arcctg x .
Здесь независимая переменная x может принимать любые действительные значения:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π :
.
Арккотангенс является функцией, обратной к котангенсу:
x = ctg y .
Для определения его производной, применим формулу производной обратной функции:
(1) .
Считаем, что производная котангенса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y . Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5) .
Здесь
y = arcctg x ;
x = ctg y .
Выразим правую часть формулы (5) через переменную x . Для этого выполним преобразования:
.
Отсюда
.
Подставим в (5):
.
Таким образом, мы вывели формулу производной арккотангенса:
.
Второй способ
Поскольку арккотангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями, то
(6) .
Продифференцируем это уравнение по переменной x :
(7) .
Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Далее выполним преобразования:
.
Тогда
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 07-05-2017
Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.
В этих формулах f <displaystyle f> 
Содержание
Производные простых функций [ править | править код ]
- d d x c = 0 <displaystyle
c=0>
- d d x x = 1 <displaystyle
x=1>
- d d x c x = c <displaystyle
cx=c>
( c x ) ′ = c x ′ = c <displaystyle (cx)’=cx’=c>
- d d x x c = c x c − 1 , <displaystyle
x^ =cx^,> >
eq 0>
- d d x | x | = x | x | = sgn x , x ≠ 0 <displaystyle
|x|= =operatorname x,qquad x
eq 0>
- d d x ( 1 x ) = d d x ( x − 1 ) = − x − 2 = − 1 x 2 <displaystyle
left(<1 over x>
ight)=left(x^<-1>
ight)=-x^<-2>=-<1 over x^<2>>>
- d d x ( 1 x c ) = d d x ( x − c ) = − c x c + 1 <displaystyle
left(<1 over x^ >
ight)=left(x^<-c>
ight)=->>
- 0>"> d d x x = d d x x 1 2 = 1 2 x − 1 2 = 1 2 x , x > 0 <displaystyle
<sqrt >= x^<1 over 2>=<1 over 2>x^<-<1 over 2>>=<1 over 2<sqrt >>,qquad x>0>
- d d x x n = d d x x 1 n = 1 n x 1 − n n = 1 n ⋅ x n − 1 n <displaystyle
<sqrt[ ] >= x^<1 over n>=<1 over n>x^<1-n over n>=<frac <1> ]>>>>>
Производные экспоненциальных и логарифмических функций [ править | править код ]
- 0>"> d d x c x = c x ln c , c > 0 <displaystyle
c^ = ln c>,qquad c>0>
d d x c x = d d x e x ln c = e x ln c ln c = c x ln c <displaystyle
Суть и понятие производной
Производная является одним из ключевых понятий математического анализа. Производные используются в решении различных математических и специальных задачах. Поэтому важно корректно и своевременно усвоить это понятие.
Необходимость в производной возникла, когда проводились вычисления скорости и ускорения движущегося тела. Из курса физики известно, что средняя скорость вычисляется по формуле $v_<ср>=frac
Дадим определение производной. Напомним, что в $y=f(x)$, $ x$ – это свободная переменная, называемая аргументом, а $y$ – зависимая переменная, называемая функцией.
Производная функции $y=f(x_0)$ в т. $(x_0)$ равна пределу отношения приращения функции в т. $(x_0)$ к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Производную записывают как: $y’, f'(x_0), frac
Разберёмся с определением производной, а именно, как с её помощью вычисляется средняя скорость изменения функции за всё время движения.
$Delta y$ (приращение функции) означает выбранную часть пути.
$Delta x$, то есть приращение аргумента, означает всё время общего пути (от $x_0$ до $x_0+Delta x$). Не будет ошибкой в рамках курса физики вместо $x$ записывать $t$, что привычнее при обозначении времени.
Нахождение производной от арктангенс x
Формула производной элементарной функции $arctan x$ : $(arctan x)’ = frac<1><1+x^2>$
Рассмотрим пример решения производной функции с арктангенс x.
Требуется найти $y’$ функции $y=arcsin x+arccos x+arctan x$.
Решение. Для нахождения этой производной необходимо вспомнить некоторые основные формулы:
Приступаем к подстановке.
Мы нашли производную заданной функции.
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Таким образом, мы разобрались с понятием производной и нахождением производной от $arctan x$.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь
