Гипотеза римана простыми словами

В 1900 году один из величайших ученых прошлого столетия Давид Гильберт составил перечень, состоящий из 23 нерешенных проблем математической науки. Работа над ними оказала колоссальное влияние на развитие этой области человеческого знания. Спустя 100 лет Математический институт Клэя представил список из 7 проблем, известных как задачи тысячелетия. За решение каждой из них была предложена премия в 1 миллион долларов.

Единственной задачей, которая оказалась в числе обоих перечней головоломок, уже не одно столетие не дающих покоя ученым, стала гипотеза Римана. Она еще ждет своего решения.

Краткая биографическая справка

Георг Фридрих Бернхард Риман родился в 1826 году в Ганновере, в многодетной семье бедного пастора, и прожил всего 39 лет. Ему удалось опубликовать 10 трудов. Однако уже при жизни Риман считался преемником своего учителя Иоганна Гаусса. В 25 лет молодой ученый защитил диссертацию «Основания теории функций комплексной переменной». Позже он сформулировал свою гипотезу, ставшую знаменитой.

Простые числа

Математика появилась, когда человек научился считать. Тогда же возникли первые представления о числах, которые позже попытались классифицировать. Было замечено, что некоторые из них обладают общими свойствами. В частности, среди натуральных чисел, т. е. таких, которые использовались при подсчете (нумерации) или обозначении количества предметов, была выделена группа таких, которые делились только на единицу и на самих себя. Их назвали простыми. Изящное доказательство теоремы бесконечности множества таких чисел дал Евклид в своих «Началах». На данный момент продолжается их поиск. В частности, самым большим из уже известных является число 2 74 207 281 – 1.

Формула Эйлера

Наряду с понятием о бесконечности множества простых чисел Евклид определил и вторую теорему о единственно возможном разложении на простые множители. Согласно ей любое целое положительное число является произведением только одного набора простых чисел. В 1737 году великий немецкий математик Леонард Эйлер выразил первую теорему Евклида о бесконечности в виде формулы, представленной ниже.

Она получила название дзета-функции, где s — константа, а p принимает все простые значения. Из нее напрямую следовало и утверждение Евклида о единственности разложения.

Дзета-функция Римана

Формула Эйлера при ближайшем рассмотрении является совершенно удивительной, так как задает отношение между простыми и целыми числами. Ведь в ее левой части перемножаются бесконечно много выражений, зависящих только от простых, а в правой расположена сумма, связанная со всеми целыми положительными числами.

Риман пошел дальше Эйлера. Для того чтобы найти ключ к проблеме распределения чисел, он предложил определить формулу как для действительной, так и для комплексной переменной. Именно она впоследствии получила название дзета-функции Римана. В 1859 году ученый опубликовал статью под заголовком «О количестве простых чисел, которые не превышают заданной величины», где обобщил все свои идеи.

Риман предложил использовать ряд Эйлера, сходящийся для любых действительных s>1. Если ту же формулу применяют для комплексных s, то ряд будет сходиться при любых значениях этой переменной с действительной частью больше 1. Риман применил процедуру аналитического продолжения, расширив определение zeta (s) на все комплексные числа, но «выбросив» единицу. Она была исключена, потому что при s = 1 дзета-функция возрастает в бесконечность.

Практический смысл

Возникает закономерный вопрос: чем интересна и важна дзета-функция, которая является ключевой в работе Римана о нулевой гипотезе? Как известно, на данный момент не выявлено простой закономерности, которая бы описывала распределение простых чисел среди натуральных. Риману удалось обнаружить, что число pi (x) простых чисел, которые не превосходили x, выражается посредством распределения нетривиальных нулей дзета-функции. Более того, гипотеза Римана является необходимым условием для доказательства временных оценок работы некоторых криптографических алгоритмов.

Гипотеза Римана

Одна из первых формулировок этой математической проблемы, не доказанной и по сей день, звучит так: нетривиальные 0 дзета-функции — комплексные числа с действительной частью равной ½. Иными словами они расположены на прямой Re s = ½.

Существует также обобщенная гипотеза Римана, представляющая собой то же утверждение, но для обобщений дзета-функций, которые принято называть L-функциями Дирихле (см. фото ниже).

В формуле χ(n) — некоторый числовой характер (по модулю k).

Римановское утверждение считается так называемой нулевой гипотезой, так как была проверена на согласованность с уже имеющимися выборочными данными.

Как рассуждал Риман

Замечание немецкого математика изначально было сформулировано достаточно небрежно. Дело в том, что на тот момент ученый собирался доказать теорему о распределении простых чисел, и в этом контексте данная гипотеза не имела особого значения. Однако ее роль при решении многих других вопросов огромна. Именно поэтому предположение Римана на данный момент многими учеными признается важнейшей из недоказанных математических проблем.

Как уже было сказано, для доказательства теоремы о распределении полная гипотеза Римана не нужна, и достаточно логически обосновать, что действительная часть любого нетривиального нуля дзета-функции находится в промежутке от 0 до 1. Из этого свойства следует, что сумма по всем 0-м дзета-функции, которые фигурируют в точной формуле, приведенной выше, — конечная константа. Для больших значений x она вообще может потеряться. Единственным членом формулы, который останется неизменным даже при очень больших x, является сам x. Остальные сложные слагаемые в сравнении с ним асимптотически пропадают. Таким образом, взвешенная сумма стремится к x. Это обстоятельство можно считать подтверждением истинности теоремы о распределении простых чисел. Таким образом, у нулей дзета-функции Римана появляется особая роль. Она заключается в том, чтобы доказать, что такие значения не могут внести существенного вклада в формулу разложения.

Последователи Римана

Трагическая смерть от туберкулеза не позволила этому ученому довести до логического конца свою программу. Однако от него приняли эстафету Ш-Ж. де ла Валле Пуссен и Жак Адамар. Независимо друг от друга ими была выведена теорема о распределении простых чисел. Адамару и Пуссену удалось доказать, что все нетривиальные 0 дзета-функции находятся в пределах критической полосы.

Благодаря работе этих ученых появилось новое направление в математике — аналитическая теория чисел. Позже другими исследователями было получено несколько более примитивных доказательств теоремы, над которой работал Риман. В частности, Пал Эрдеш и Атле Сельберг открыли даже подтверждающую ее весьма сложную логическую цепочку, не требовавшую использования комплексного анализа. Однако к этому моменту посредством идеи Римана уже было доказано несколько важных теорем, включая аппроксимацию многих функций теории чисел. В связи с этим новая работа Эрдеша и Атле Сельберга практически ни на что не повлияла.

Одно из самых простых и красивых доказательств проблемы было найдено в 1980 году Дональдом Ньюманом. Оно было основано на известной теореме Коши.

Угрожает ли римановская гипотеза основам современной криптографии

Шифрование данных возникло вместе с появлением иероглифов, точнее, они сами по себе могут считаться первыми кодами. На данный момент существует целое направление цифровой криптографии, которое занимается разработкой алгоритмов шифрования.

Простые и «полупростые» числа, т. е. такие, которые делятся только на 2 других числа из этого же класса, лежат в основе системы с открытым ключом, известной как RSA. Она имеет широчайшее применение. В частности, используется при генерировании электронной подписи. Если говорить в терминах, доступных «чайникам», гипотеза Римана утверждает существование системы в распределении простых чисел. Таким образом, значительно снижается стойкость криптографических ключей, от которых зависит безопасность онлайн-транзакций в сфере электронной коммерции.

Другие неразрешенные математические проблемы

Закончить статью стоит, посвятив несколько слов другим задачам тысячелетия. К их числу относятся:

• Равенство классов P и NP. Задача формулируется так: если положительный ответ на тот или иной вопрос проверяется за полиномиальное время, то верно ли, что и сам ответ на этот вопрос можно найти быстро?
• Гипотеза Ходжа. Простыми словами ее можно сформулировать так: для некоторых типов проективных алгебраических многообразий (пространств) циклы Ходжа являются комбинациями объектов, которые имеют геометрическую интерпретацию, т. е. алгебраических циклов.
• Гипотеза Пуанкаре. Это единственная из доказанных на данный момент задач тысячелетия. Согласно ей любой 3-мерный объект, обладающий конкретными свойствами 3-мерной сферы, обязан являться сферой с точностью до деформации.
• Утверждение квантовой теории Янга — Миллса. Требуется доказать, что квантовая теория, выдвинутая этими учеными для пространства R 4 , существует и имеет 0-й дефект массы для любой простой калибровочной компактной группы G.
• Гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера. Это еще одна проблема, имеющая отношение к криптографии. Она касается элиптических кривых.
• Проблема о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса.

Теперь вам известна гипотеза Римана. Простыми словами мы сформулировали и некоторые из других задач тысячелетия. То, что они будут решены либо будет доказано, что они не имеют решения, — это вопрос времени. Причем вряд ли этого придется ждать слишком долго, так как математика все больше использует вычислительные возможности компьютеров. Однако не все подвластно технике, и для решения научных проблем прежде всего требуется интуиция и творческий подход.

Профессор Оксфордского, Кембриджского и Эдинбургского университетов, а также лауреат почти десятка престижных премий в области математики Майкл Фрэнсис Атья представил доказательство гипотезы Римана, одной из семи «проблем тысячелетия», которая описывает, как расположены на числовой прямой простые числа.

Доказательство Атьи небольшое, вместе с введением и списком литературы оно занимает пять страниц. Ученый утверждает, что нашел решение гипотезы, анализируя проблемы, связанные с постоянной тонкой структуры, а в качестве инструмента использовал функцию Тодда. Если научное сообщество сочтет доказательство корректным, то за него британец получит $1 млн от Института математики Клея (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс).

На приз претендуют также другие ученые. В 2015 году о решении гипотезы Римана заявлял профессор математики Опиеми Энох (Opeyemi Enoch) из Нигерии, а в 2016 году свое доказательство гипотезы представил российский математик Игорь Турканов. По словам представителей Института математики, для того чтобы достижение было зафиксировано, его необходимо опубликовать в авторитетном международном журнале с последующим подтверждением доказательства научным сообществом.

В чем суть гипотезы?

Гипотезу еще в 1859 году сформулировал немецкий математик Бернхард Риман. Он определил формулу, так называемую дзета-функцию, для количества простых чисел до заданного предела. Ученый выяснил, что нет никакой закономерности, которая бы описывала, как часто в числовом ряду появляются простые числа, при этом он обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих x, выражается через распределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции.

Риман был уверен в правильности выведенной формулы, однако он не мог установить, от какого простого утверждения полностью зависит это распределение. В результате он выдвинул гипотезу, которая заключается в том, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную ½, и лежат на вертикальной линии Re=0,5 комплексной плоскости.

Доказательство или опровержение гипотезы Римана очень важно для теории распределения простых чисел, говорит аспирант факультета математики Высшей школы экономики Александр Калмынин. «Гипотеза Римана — это утверждение, которое эквивалентно некоторой формуле для количества простых чисел, не превосходящих данное число x. Гипотеза, например, позволяет достаточно быстро и с большой точностью посчитать количество простых чисел, не превосходящих, к примеру, 10 млрд. Это не единственная ценность гипотезы, потому что у нее есть еще целый ряд довольно далеко идущих обобщений, которые известны как обобщенная гипотеза Римана, расширенная гипотеза Римана и большая гипотеза Римана. Они имеют еще большее значение для разных разделов математики, но в первую очередь важность гипотезы определяется теорией простых чисел», — говорит Калмынин.

По словам эксперта, при помощи гипотезы можно решать ряд классических задач теории чисел: задачи Гаусса о квадратичных полях (проблема десятого дискриминанта), задачи Эйлера об удобных числах, гипотезу Виноградова о квадратичных невычетах и т. д. В современной математике данной гипотезой пользуются для доказательства утверждений о простых числах. «Мы сразу предполагаем, что верна какая-то сильная гипотеза типа гипотезы Римана, и смотрим, что получается. Когда у нас это получается, то мы задаемся вопросом: можем ли мы это доказать без предположения гипотезы? И, хотя такое утверждение пока за пределами того, чего мы можем достигнуть, оно работает как маяк. За счет того, что есть такая гипотеза, мы можем смотреть, куда нам двигаться», — говорит Калмынин.

Доказательство гипотезы также может повлиять на совершенствование информационных технологий, поскольку процессы шифрования и кодирования сегодня зависят от эффективности разных алгоритмов. «Если мы возьмем два простых больших числа по сорок знаков и перемножим, то у нас получится большое восьмидесятизначное число. Если поставить задачу разложить это число на множители, то это будет очень сложная вычислительная задача, на основе которой как раз построены многие вопросы информационной безопасности. Все они заключаются в создании разных алгоритмов, которые завязаны на сложностях подобного рода», — говорит Калмынин.

Гипотеза Римана включена в список семи величайших задач, из которых пока решена только одна.

Доказательство Атьи уже представлено на суд коллег

Если в доказательстве не найдут ошибок, его автор получит миллион долларов США.

Знаменитый учёный Майкл Атья, лауреат Филдсовской премии, выступил с доказательством гипотезы Римана. Эта проблема включена в список шести величайших нерешённых задач. В случае успеха исследователю достанется миллион долларов США.

"Решите гипотезу Римана, и вы станете знаменитым. Если вы уже известны, вы становитесь пресловутыми, – говорит Атья в материале New Scientist. во время разговора. – Никто не верит никакому доказательству гипотезы Римана, потому что эта задача так сложна. Никто не доказал её, так с чего бы кому-нибудь доказать её сейчас? Если, конечно, у вас нет совершенно новой идеи".

Чтобы объяснить, в чём состоит гипотеза Римана, придётся начать издалека. Вспомним, что целое число называется простым, если без остатка делится только на себя и на единицу (но само не является единицей). Например, 2, 3, 5, 7, 11 – простые числа, а 4, 6, 8, 9 – нет.

Простые числа издавна привлекают внимание математиков. Дело в том, что любое целое число либо само является простым, либо может быть получено из простых путём их перемножения. Например, 8 = 2×2×2, а 9 = 3×3. Таким образом, простые числа являются "кирпичиками", из которых строятся все целые числа с помощью операции умножения.

Есть у этого математического явления и практическая сторона. Перемножить несколько простых чисел – куда более лёгкая задача, чем произвести обратный процесс: взять результат и рассчитать, произведением каких простых чисел он является. Перебор всех возможных кандидатов – слишком долгое дело. Каждый может убедиться в этом на опыте, попытавшись выяснить с помощью калькулятора, на какие простые множители раскладывается, скажем, 1059811.

Если простые множители достаточно велики, то найти их по произведению – задача, непосильная даже современным компьютерам. И на этом строятся алгоритмы шифрования, защищающие, скажем, наши финансовые счета. Ключ состоит из нескольких очень больших простых чисел. Компьютер перемножает их. Если произведение сходится с тем, которое хранится в базе данных, ему предоставляется доступ к информации. Зная же только произведение, найти его множители (подобрать ключ) невозможно ни за какой разумный срок.

Наши счета защищает тот факт, что не известно (и, возможно, не существует) никакого быстрого алгоритма, позволяющего найти все простые числа от единицы до заданного числа x. Однако если мы не можем узнать, какие это числа, можем ли мы, по крайней мере, выяснить, сколько их?

Функция, задающая количество простых чисел от единицы до данного числа x называется функцией распределения простых чисел. Для неё никакой удобной формулы тоже не найдено, однако математики с интересом исследуют её свойства.

В 1859 году великий математик Бернхард Риман сформулировал гипотезу, которая позже была названа его именем. Если эта гипотеза верна, то верно и множество интереснейших утверждений о распределении простых чисел.

Как она формулируется? Здесь нам придётся немного коснуться высшей математики. Все числа, которые изучаются в школьной программе – положительные, отрицательные и нуль, целые и дробные, рациональные и иррациональные – математики объединяют под названием действительных. Однако существуют ещё и комплексные числа.

Такое число представляет собой сумму a + i×b, где a, b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица. Она определяется формулой i 2 = -1. Если b = 0, то комплексное число – это просто действительное число a. Таким образом, действительные числа есть лишь частный случай комплексных.

Понятно, что никакое действительное число в квадрате не может быть отрицательным. Поэтому математикам и понадобилась мнимая единица и комплексные числа. Они позволяют решать задачи, которые при оперировании только действительными числами выглядят попросту бессмысленными. А вот с помощью этого инструмента такие задачи зачастую изящно решаются, и эти решения, кстати, находят многочисленные применения в физике и инженерии. Так что в том, что человечество сумело изобрести, скажем, компьютеры, есть "заслуга" комплексных чисел.

Риман придумал функцию, которая сегодня так и называется дзета-функцией Римана ζ(x). Её определения мы с позволения читателя приводить не будем: оно громоздко и требует введения ещё нескольких математических понятий. Отметим лишь два факта. Во-первых, эта функция тесно связана с распределением простых чисел. Во-вторых, её аргумент – комплексное число.

По определению дзета-функции, если её аргумент – отрицательное чётное число (напомним, что целые числа – тоже комплексные), то ζ(x) = 0. Другими словами, ζ(-2) = ζ(-4) = ζ(-6) = … = 0. Вопрос заключается в том, в каких ещё числах эта функция обращается в нуль.

Гипотеза Римана звучит так: если ζ(a + ib) = 0 и a + ib не является отрицательным чётным (которые рассмотрены выше), то a = ½.

Такое на первый взгляд простое утверждение пытались доказать многие великие математики, но никому это не удалось. Математический институт имени Клэя (Clay Mathematics Institute) включил эту гипотезу в число семи проблем тысячелетия, за решение которых было назначено вознаграждение в один миллион долларов США. Заметим, что пока из этого списка решена только одна задача. Это гипотеза Пуанкаре, доказанная российским математиком Григорием Перельманом.

Атья утверждает, что доказал гипотезу Римана. Препринт доказательства, опубликованный в виде PDF-файла, занимает всего пять страниц. Как уточняет New Scientist, оно основано на результатах великих математиков XX века Джона фон Неймана и Фридриха Хирцебруха. Воспользовавшись их теоремами, Атья доказал гипотезу Римана от противного: он предположил, что она неверна, и пришёл к противоречию.

"Это чудесно, – говорит Атья, – но я утверждаю, что вся тяжелая работа была выполнена 70 лет назад".

Впрочем, работа математика, разумеется, нуждается в тщательной проверке. Никто не застрахован от ошибки в таком трудном деле, как математическое доказательство, тем более когда речь идёт о проблемах тысячелетия. Попытки доказательства гипотезы Римана разными авторами неоднократно публиковались, но каждый раз оказывались ошибочными. Возможно, в этот раз человечеству наконец повезёт.