Содержание
Определения гиперболических функций, их области определений и значений
Графики гиперболических функций
Формулы с гиперболическими функциями
Связь с тригонометрическими функциями
sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; ctg iz = – i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = – i ctg z
Здесь i – мнимая единица, i 2 = – 1 .
Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.
Четность
sh ( –x ) = – sh x ; ch ( –x ) = ch x .
th ( –x ) = – th x ; cth ( –x ) = – cth x .
Функция ch ( x ) – четная. Функции sh ( x ) , th ( x ) , cth ( x ) – нечетные.
Разность квадратов
ch 2 x – sh 2 x = 1 .
Формулы суммы и разности аргументов
sh ( x ± y ) = sh x ch y ± ch x sh y ,
ch ( x ± y ) = ch x ch y ± sh x sh y ,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x ,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x – 1 = 1 + 2 sh 2 x ,
.
Расчет гиперболических функций.
Решил тут разобраться с решением кубических уравнений. Это конечно отдельная тема, однако решение там выражается через гиперболические функции, точнее, обратные гиперболические функции. Статья и калькулятор Тригонометрические функции у нас есть, и даже есть статья и калькулятор Обратные тригонометрические функции, а вот про гиперболические функции ничего еще нет. Исправляем эту досадную оплошность. Калькулятор ниже, описание гиперболических функций — под ним.
Гиперболические функции
Функции sh, ch, th, sech определены и непрерывны на всей числовой оси. Функции cth, csch не определены в точке x=0.
Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси и проходящей через нуль — . Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на промежутке от минус бесконечности до нуля, и возрастающей на промежутке от нуля до плюс бесконечности При этом — минимум этой функции.
Замечание: при КОМПЛЕКСНЫХ значениях аргумента дело
обстоит интереснее.
А именно: sh z=(e^z-e^(-z))/2;
sh z=0, e^(2z)=1, 2z=Ln (1)=0+i*2n*PI, z=i*n*PI.
Бесконечная серия точек на мнимой оси, одна из которых
есть 0.
Аналогично и с гип. косинусом. Если надо, пишите мне