Бином ньютона 10 степень

Биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b) n , где a + b есть любой бином, а n — целое число.

Каждое выражение — это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до "половины пути", а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 6 . Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членов
a 6 + c1a 5 b + c2a 4 b 2 + c3a 3 b 3 + c4a 2 b 4 + c5ab 5 + b 6 .
Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, ci? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля:

Есть много особенностей в треугольнике. Найдите столько, сколько сможете.
Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b) 6 путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли:

Мы видим, что в последней строке

первой и последнее числа 1;
второе число равно 1 + 5, или 6;
третье число это 5 + 10, или 15;
четвертое число это 10 + 10, или 20;
пятое число это 10 + 5, или 15; и
шестое число это 5 + 1, или 6.

Таким образом, выражение (a + b) 6 будет равно
(a + b) 6 = 1a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + 1b 6 .

Для того, чтобы возвести в степень (a + b) 8 , мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:

Тогда
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n,
(a + b) n = ca n b 0 + c1a n-1 b 1 + c2a n-2 b 2 + . + cn-1a 1 b n-1 + cna 0 b n ,
где числа c, c1, c2. cn-1, cn взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.

Пример 1 Возведите в степень: (u — v) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:
1 5 10 10 5 1
Тогда у нас есть
(u — v) 5 = [u + (-v)] 5 = 1(u) 5 + 5(u) 4 (-v) 1 + 10(u) 3 (-v) 2 + 10(u) 2 (-v) 3 + 5(u)(-v) 4 + 1(-v) 5 = u 5 — 5u 4 v + 10u 3 v 2 — 10u 2 v 3 + 5uv 4 — v 5 .
Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и — . Когда степень -v есть нечетным числом, знак — .

Пример 2 Возведите в степень: (2t + 3/t) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:
1 4 6 4 1
Тогда мы имеем

Читайте также:  Задачи на разность потенциалов с решением

Разложение бинома используя значения факториала

Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 11 . Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого. Он также позволяет найти определенную строку — скажем, 8-ю строку — без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует биномиальное обозначение коэффициента .
Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,
.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему называется биноминальным коэффициентом.

Пример 3 Возведите в степень: (x 2 — 2y) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = x 2 , b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем

Наконец, (x 2 — 2y) 5 = x 10 — 10x 8 y + 40x 6 y 2 — 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 — 35y 5 .

Пример 4 Возведите в степень: (2/x + 3√ x ) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2/x, b = 3√ x , и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получим

Finally (2/x + 3√ x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x ½ + 81x 2 .

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона дает нам 1-й член, дает нам 2-й член, дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b) n есть .

Пример 5 Найдите 5-й член в выражении (2x — 5y) 6 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет

Пример 6 Найдите 8-й член в выражении (3x — 2) 10 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет

Общее число подмножеств

Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть . Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть
.
Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1) n :
.
Так. общее количество подмножеств (1 + 1) n , или 2 n . Мы доказали следующее.

Полное число подмножеств

Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2 n .

Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество ?

Решение Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 2 5 , или 32.

Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
<кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр>.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно

. Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

Формула бинома Ньютона
Связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Свойства биномиальных коэффициентов

Формула бинома Ньютона

В Таблице 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения» приведены формулы для натуральных степеней бинома

в случаях, когда n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

В настоящем разделе рассматривается общий случай этой формулы, т.е. случай произвольного натурального значения n .

Утверждение . Для любого натурального числа n и любых чисел x и y справедлива формула бинома Ньютона :

– числа сочетаний из n элементов по k элементов.

Читайте также:  Бывает ли отрицательный корень

В формуле (1) слагаемые

называют членами разложения бинома Ньютона , а числа сочетаний – коэффициентами разложения или биномиальными коэффициентами .

Если в формуле (1) заменить y на – y , то мы получим формулу для n — ой степени разности:

Связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

Напомним, что треугольник Паскаля имеет следующий вид:

Треугольник Паскаля
1
11 1
21 2 1
31 3 3 1
41 4 6 4 1
51 5 10 10 5 1
61 6 15 20 15 6 1

Поскольку числа, составляющие треугольник Паскаля, являются биномиальными коэффициентами, то треугольник Паскаля можно переписать в другом виде:

Треугольник Паскаля
1
2
3
4
5
6
Треугольник Паскаля
Треугольник Паскаля

Свойства биномиальных коэффициентов

Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

1
2

к доказательству которых мы сейчас и переходим.

Докажем сначала равенство 1.

Это равенство отражает основное свойство треугольника Паскаля, заключающееся в том, что в каждой из строк треугольника Паскаля, начиная со строки с номером 2 , между числами 1 стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

Для доказательства равенства 1 воспользуемся формулой (2):

что и требовалось.

Для доказательства равенства 2 положим в формуле бинома Ньютона (1) x = 1, y = 1.

Если же в формуле бинома Ньютона (1) взять x = 1, y = –1, то получится равенство 3.

Перейдем к доказательству равенства 4. С этой целью положим в формуле бинома Ньютона (1) y = 1

Воспользовавшись очевидным равенством

перепишем формулу (3) в другом виде

Если теперь перемножить формулы (3) и (4), то мы получим равенство:

Если к левой части формулы (5) применить формулу бинома Ньютона, а затем, раскрыв в правой части скобки и приведя подобные члены, приравнять коэффициенты при x n в левой и в правой частях, то мы получим следующее равенство:

Разделы: Математика

Класс: 10

Образовательные:
– научить учащихся возводить двучлен в натуральную степень;
– находить биноминальные коэффициенты, используя треугольник Паскаля;

Развивающие:
– развивать логическое мышление, такие мыслительные операции, как синтез и анализ, обобщение и сравнение;
– развивать умение выдвигать гипотезы при решении учебной задачи и понимать необходимость их проверки;
– развивать интерес к предмету.

Воспитательные:
– создание условий для формирования информационной культуры учащихся.

Методы: проблемный, объяснительно – иллюстративный, частично-поисковый.

Оборудование: школьная доска, компьютер, проектор.

Раздаточный материал: “Треугольник Паскаля”, карточки для самостоятельной работы

1. Организационный момент.

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

2. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.

На экране фрагмент фильма “Мастер и Маргарита”)

Комментарий к фрагменту.

О биноме Ньютона речь идет в романе “Последнее дело Холмса”Конан Дойля Позже это же выражение упомянуто в фильме “Сталкер” А.А.Тарковского. Бином Ньютона упоминается в фильме “Расписание на послезавтра”, в повести Льва Толстого “Юность” в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым и в романе Замятина “Мы”.

Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: “Тоже мне бином Ньютона!” Дескать, вот бином Ньютона, это сложно, а у тебя какие проблемы! Что же это за формула такая и почему о ней слышали даже те люди, чьи интересы никак не связаны с математикой?

Так что же такое бином Ньютона?

3. Повторим формулы сокращенного умножения, которые мы с вами знаем.

У доски учащиеся записывают формулы квадрата суммы и разности, формулы куба суммы и куба разности двух выражений.

(а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2
(а – в) 2 = а 2 – 2ав + в 2
(а + в) 3 = а 3 + 3а 2 в + 3ав 2 + в 3
(а – в) 3 = а 3 – 3а 2 в + 3ав 2 – в 3

Попробуйте записать формулу для 4-ой степени

(а+в) 4 =(а+в) 3 (а+в)=(а 3 +3а 2 в+3ав 2 +в 3 )(а+в)=

Читайте также:  Готика 2 не видно полоску здоровья врага

а 4 + 3а 3 в + 3а 2 в 2 + ав 3 + а 3 в + 3а 2 в 2 + 3ав 3 + в 4 =

а 4 + 4а 3 в + 6а 2 в 2 + 4ав 3 + в 4 .

и для 5-ой степени:

(а + в) 5 = (а + в) 4 (а + в) = (а 4 + 4а 3 в + 6а 2 в 2 + 4ав 3 + в 4 )(а + в) =

а 5 + 4а 4 в + 6а 3 в 2 + 4а 2 в 3 + в 4 а + а 4 в + 4а 3 в 2 + 6а 2 в 3 + 4ав 4 + в 5 =

а 5 + 5а 4 в + 10а 3 в 2 + 10а 2 в 3 + 5ав 4 + в 5

Внимательно рассмотрим полученные формулы: на экране таблица “Смотри!”

n = 1 (а +в ) 1 = 1·а+1·в

n = 2 (а + в) 2 = 1· а 2 + 2·ав +1· в 2

n = 3 ( а + в) 3 = 1· а 3 + 3·а 2 в + 3·ав 2 +1· в 3

n = 4 ( а + в) 4 = 1·а 4 + 4·а 3 в + 6·а 2 в 2 +4·а в 3 +1·в 4

n = 5 (а + в) 5 = 1·а 5 + 5·а 4 в+ 10·а 3 в 2 + 10·а 2 в 3 + 5·ав 4 + 1·в 5

Заметим следующее (обсуждаем вместе с учащимися увиденные закономерности):

1. число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени бинома;

2. показатель степени первого слагаемого убывает от n до 0, показатель степени второго слагаемого возрастает от 0 до n;

3. степени всех одночленов равны степени двучлена в условии;

4. каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа; числа– биноминальные коэффициенты;

5. биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от начала и конца разложения, равны.

Слово “бином” означает всего-навсего двучлен, т.е. сумму двух слагаемых.

Происходит оно от латинских корней: два и слово.

Попробуем, используя полученные выводы, записать бином для шестой степени.

У доски ученик записывает формулу.

Коэффициенты разложения степени бинома легко найти по следующей схеме, которая называется “треугольник Паскаля”, по имени французского математика Блез Паскаля (1623–1662) (презентация, сделанная учащимися)

Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей .

Комментарий к презентации:

Блез Паскаль умер в 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления(паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования. Но, наверное, самой известной математической работой Блеза Паскаля является “Трактат об арифметическом треугольнике”, образованном биноминальными коэффициентами, который имеет применение в теории вероятностей, комбинаторики, математическом анализе, теории чисел и обладает удивительными и занимательными свойствами. Кстати, одну из первых теорем в проективной геометрии Паскаль доказал в возрасте 16 лет.

Именно И.Ньютон в 1664–1665 гг. вывел формулу, выражающую степень двучлена для произвольных дробных и отрицательных показателей.

Найти разложение бинома (у каждого на парте треугольник Паскаля).

1. У доски вместе с учителем

№ 1. ( х +у) 5 = х 5 + 5х 4 у + 10х 3 у 2 + 10х 2 у 3 + 5ху 4 + у 5

№ 2 (1 + 2а) 4 = 1 4 + 4·1 3 ·2а + 6·1 2 ·(2а) 2 + 4· 1 1 ·(2а) 3 + (2а) 4 =

1 + 8а + 24а 2 + 32а 3 + 16а 4

№3 (х – у) 6 = (х + (-у)) 6 = х 6 + 6х 5 (-у) + 15х 4 (-у) 2 + 20х 3 (-у) 3 +

15х 2 (-у) 4 + 6х(-у) 5 + у 6 = х 6 – 6х 5 у +15х 4 у 2 – 20х 3 у 3 + 15х 2 у 4 – 6ху 5 + у 6 .

2. Биноминальные коэффициенты можно вычислять по формуле.

Записывается формула бинома Ньютона. Формула для нахождения коэффициентов.

В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:

где k – порядковый номер слагаемого в многочлене.

Напомним, что факториал – произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть 1·2·З. ·n – обозначается n! Например: 4! = 1·2·3·4 = 24.

3. Работа с учебником (с. 116–118,задача №1, задача № 2).

4. Самостоятельная работа по карточкам:

1. ( 1 + 3а) 4
2. (2а – в) 5
3. (3в + 1) 4
4. (х – 2у) 5

стр.116–118, № 62, 63, 67,
для желающих стр.118– 119 ( свойства биноминальных коэффициентов + № 64.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector