Бинарные операции на множестве

В данном параграфе главной целью является изучение основ теории групп. Группа – это множество, на котором задана некоторая бинарная (зависящая от двух аргументов) алгебраическая операция, удовлетворяющая определенным условиям. Понятие бинарной алгебраической операции лежит, следовательно, в основе всего задания теории групп.

Каждому ученику средней школы, известно слово «операция» и, одним из первых его значений, приходящих в голову, являются понятия арифметических операций – сложения, умножения, вычитания или деления. Операции можно производить не только над числами, но и над другими объектами: дизъюнкции и конъюнкции высказываний, композиции преобразований и т.д.

Во всех названых примерах операций мы имеем дело с некоторым множеством А (множество чисел, высказываний, преобразований и т.д.). При выполнении операции по двум элементам этого множества находят третий элемент того же множества (по двум заданным числам находят их сумму, по двум заданным высказываниям их конъюнкцию и т.д.). При этом ответ, зависит от порядка этих элементов (например, при вычитании чисел).

Дадим определение бинарной алгебраической операции.

Определение 1. 1. 1. Пусть А – непустое множество, тогда всякое отображение φ: A × A → A называют бинарной алгебраической операцией, заданной на множестве А.

Другими словами, бинарной операцией на А является правило или закон, согласно которому каждой упорядоченной паре элементов a и b из А ставится в соответствие однозначно определенный элемент d из A (φ: (a, b)→ d). Следуя арифметической традиции, результат применения бинарной операции φ к элементам a и b обозначают a φ b и называют композицией элементов a и b. В каждом конкретном случае композиция элементов получает свое название – сумма, произведение и т.п.

Определение 1.1.2.Множество А вместе с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называется группоидом и обозначается .

Примеры: , , .

Нетрудно заметить, что вычитание на множестве N не является бинарной операцией. Действительно, по определению бинарной алгебраической операции должно выполнятся условие: ( (а, b) N 2 ) ( d N 2 ) d = a – b. Составим отрицание: (а, b) N 2 ( d є N) d ≠ a – b. При a = 2, b = 3 отрицание истинно, значит исходно утверждение – ложное. Следовательно, можно утверждать, что вычитание не является бинарной операцией на множестве Nи не является группоидом.

На конечных множествах, содержащих не слишком много элементов, бинарную алгебраическую операцию удобно задавать с помощью таблицы, которая называется таблицей Кэли (А. Кэли (1821-1895) английский алгебраист). Эта таблица для группоида , A = <a₁, a₂, …, a_n> заполняется следующим образом:

Например, следующая таблица задает операцию * на множестве A = <a , b>:

Причем a * a = b* b= b* a= b и a* b= b. Поскольку результаты операции

принадлежат А, следовательно, — группоид.

Свойства операций. Полугруппы

Известны свойства арифметических действий – переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы сложения и умножения действительных чисел. Сформулируем эти свойства для произвольной бинарной алгебраической операции. Поскольку мы рассматриваем, в определении группоида, операции на определенном множестве, то, чтобы не вводить дополнительных определений, и группоидом будем называть в соответствии с названием свойства операции.

Определение 1. 1. 3.Группоид называется коммутативным (а сама операция коммутативной), если для любых двух элементов из A выполняется условие: ( a, b А) а * b = b * а.

Определение 1. 1. 4.Группоид называется ассоциативным или полугруппой (а сама операция ассоциативной), если выполняется условие:

( а, b, с А) а * (b * с) = (а* b) *с

Пусть — полугруппа. Легко доказать следующие свойства.

1. (Обобщённый ассоциативный закон). Для любого конечного семейства элементов a₁, . a_к из А произведение a₁ ۰a₂ ۰. ۰a_к не зависит от расстановки скобок, т. е. от последовательности умножений по два сомножителя.

2. Естественным образом вводится понятие степени с натуральным показателем: а n = a ۰a ۰. ۰a (n сомножителей а) для любых а А и n N, причём выполняются обычные свойства степеней:

a k+n = a k ۰ a n и (a k ) n = a kn (k, n N).

3. Если полугруппа коммутативна, то имеет место обобщённый коммутативный закон: произведение любого конечного числа элементов из А не зависит от порядка сомножителей.

Можно сформулировать аналогичные свойства для полугруппы .

Ещё из школы известны два правила: правило сложения любого числа с нулём и правило умножения любого числа на единицу. 0 и 1 — это нейтральные

элементы для операции сложения и умножения в R.

Определение 1. 1. 5.Элемент е А группоида называется нейтральным элементом, если для любого элемента a A a* e= e* a= a.

Теорема 1. 1. 1.Каждый группоид содержит не более одного нейтрального элемента.

Доказательство. Предположим, что в группоиде А существуют два различных нейтральных элемента e₁ и е₂. Дважды воспользовавшись определением нейтрального элемента, получим: e₁ = е₁ ۰ e_{2 =} е₂ .

Поэтому, если в группоиде существует нейтральный элемент, то он единственный.

Чтобы установить, имеет ли группоид нейтральный элемент, надо выяснить, является ли группоид коммутативным, если да, то достаточно проверить одно условие: ( е А) ( а А) а * е = а. Если же нет, то надо проверять два условия: а * е = а и е * а = а.

Пример.На множестве R операция * задана правилом: a * b = a + b – 1. Покажем, что является группоидом, содержащим нейтральныйэлемент.

1. ( a, b R) ( ! (а + b — 1) R), следовательно, * — бинарная операция;

2. ( a, b R) a *b=a+b-1= b * а в силу коммутативности сложения в R;

3. Условие e R a R a* е = а + е — 1= a выполняется при е — 1 = 0, т.к. нейтральным элементом на R относительно сложения является 0. Таким образом, е = 1 является нейтральным элементом относительно операции *.

Определение 1. 1. 6.Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом.

Равенства а + (— а) = 0 и а ۰ 1 = а напоминают нам о таких понятиях, как

противоположный и обратный элементы соответственно относительно операций сложения и умножения. Эти термины есть конкретизация такого математического понятия, как симметричный элемент. Правомерны следующие вопросы: каждый ли элемент множества имеет симметричный относительно операции в группоиде? При каких условиях элемент множества имеет симметричный?

Понятие симметричного элемента

Определение 1. 1. 7.Пусть группоид имеет нейтральный элемент е, тогда элемент a A называется симметризуемым, если для него существует а’ А такой, что а* а’ = а’ * а = е. Сам элемент а’ называется в этом случае симметричным для а.

Теорема 1. 2. Если в полугруппе элемент а симметризуем, то симметричный для него элемент а’ единственный.

Доказательство. Допустим, что для а А, существуют два симметричных элемента и и v. Тогда, учитывая, что дана полугруппа, получим:

Исторически сложились и существуют два языка для выражения различных фактов, касающихся бинарных алгебраических операций: мультипликативный и аддитивный.

Формы записи бинарной операции

Далее в качестве основного языка выбран мультипликативный.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8828 — | 7537 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Определение

Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией на множестве $ M $ называется отображение $ f:M imes M o M $ , которое каждой упорядоченной паре элементов $ (x,y)in M imes M $ , называемых опера́ндами, ставит в соответствие некоторый элемент того же множества $ xfy $ , называемый результа́том.

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами. Например, для бинарной операции $ cdot $ результат её применения к двум элементам $ x $ и $ y $ записывается в виде $ xcdot y $ .

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

Бинарная операция $ cdot $ называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

$ xcdot y = ycdot x,quad forall x,yin M. $

Ассоциативная операция

Бинарная операция $ cdot $ называется ассоциативной, если

$ (xcdot y)cdot z = xcdot (ycdot z), quad forall x,y,zin M. $

Для ассоциативной операции $ cdot $ результат вычисления $ x_1cdot x_2 cdot ldots cdot x_n $ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $ x_1cdot x_2 cdot ldots cdot x_n $ при $ n>2 $ однозначно не определено.

Альтернативная операция

Бинарная операция $ cdot $ называется альтернати́вной если

$ (xcdot x)cdot y=xcdot(xcdot y) $ и $ ycdot(xcdot x)=(ycdot x)cdot x,quad forall x,yin M $ .

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на множестве вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на $ M $ называют умноже́нием, то её результат для элементов $ x,yin M $ называют их произведе́нием и обозначают $ x cdot y $ или $ xy $ . В этом случае нейтральный элемент $ e in M $ , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

$ x cdot e = e cdot x = x,quad forall x in M, $

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов $ x,yin M $ называют су́ммой и обозначают $ x+y $ . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом $ 0 $ , называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

Содержание данного параграфа не относится напрямую к линейной алгебре, но в дальнейшем изложении рассмотренные здесь понятия будут часто использоваться .

Содержание

Бинарные операции [ править ]

Любому школьнику известны понятия операции (действия) сложения, вычитания, умножения и деления. Эти операции осуществляются над двумя числами, в результате чего получается какое-то третье число. Разные арифметические выражения являются сочетаниями этих операций (например: 3+2*3=9 — сочетание умножения (3*2) и сложения (3 складывается с результатом умножения 6). Обобщим теперь представление об операциях, осуществляемых над элементами какого-либо множества.

Рассмотрим произвольное множество M и зададим на этом множестве некую операцию (действие), которой для своего совершения нужны два элемента из этого множества, в результате чего однозначно получается какой-то третий элемент (возможно, иногда и равный одному из исходных элементов). Если данная операция осуществима над любыми двумя элементами x <displaystyle x> и y <displaystyle y> множества M и в результате получается элемент z из того же самого множества, то такую операцию (действие) назовём бинарной, при этом x и y называют операндами, а z — результатом. Строгое матопределение смотри здесь.

• операция сложения или вычитания на множестве действительных или комплексных чисел — бинарные операции (любые два числа из этого множества можно сложить/вычесть, в результате чего получится число из того же самого множества)
• операция вычитания на множестве натуральных чисел не является бинарной (на множестве натуральных чисел из меньшего числа нельзя вычесть большее)
• операция умножения на множестве и натуральных, и целых, и действительных чисел — бинарная операция.
• операция деления на множестве действительных чисел не является бинарной (на 0 делить нельзя), но на множестве действительных чисел, из которого исключён 0, это бинарная операция.

Существуют операции, которым для своего осуществления требуется один элемент, например s i n x <displaystyle sinx> . Такие операции называются унарными (от лат. uno — один).

Группы [ править ]

Пусть на некоем множестве G задана какая-то операция ∙ <displaystyle ullet > . Обозначение ( G , ∙ ) <displaystyle (G,ullet )> , где G — само множество, а ∙ <displaystyle ullet > — некая заданная на нём операция.

Если от перестановки операндов результат не меняется, то такую группу называют коммутативной, или абелевой, т.е.:

5. ( ∀ x , y ∈ G ) x ∙ y = y ∙ x <displaystyle (forall x,yin G)quad xullet y=yullet x>

Отметим некоторые свойства групп:

1. Нейтральный элемент в группе всегда единственный.
2. Если x = y <displaystyle x=y>, то x ∙ a = y ∙ a <displaystyle xullet a=yullet a>для любого a <displaystyle a>. Верно и обратное. (То есть в группах можно сокращать.)
3. Уравнение a ∙ x = b <displaystyle aullet x=b>всегда имеет единственный корень x = a ′ ∙ b <displaystyle x=a’ullet b>

Поля [ править ]

Пусть на некотором множестве P заданы какие-то две двуместные(т.е. для своего совершения каждой операции нужны два элемента из этого множества, в результате чего однозначно получается какой-то третий элемент) операции. Обозначение: ( P , ⊕ , ∙ ) <displaystyle (P,oplus ,ullet )> . Одну из них (пусть ⊕ <displaystyle oplus > ) назовём аддитивной, а другую( ∙ <displaystyle ullet > )- мультипликативной. Если:

1. P относительно ⊕ <displaystyle oplus >-коммутативная группа,
2. Операция ∙ <displaystyle ullet >ассоциативна и коммутативна, имеет для себя нейтральный элемент.
3. Все элементы множества P, кроме нейтрального элемента по аддитивной операции, обратимы по мультипликативной операции.
4. Операция ⊕ <displaystyle oplus >относительно ∙ <displaystyle ullet >подчиняется распределительному закону (дистрибутивна): ( ∀ x , y , z ∈ P ) ( x ⊕ y ) ∙ z = ( x ∙ z ) ⊕ ( y ∙ z ) <displaystyle (forall x,y,zin P)quad (xoplus y)ullet z=(xullet z)oplus (yullet z)>,

то такое множество с заданными на нём операциями называют полем. Строгое матопределение смотри здесь.

Отметим некоторые дополнительные свойства полей:

1. Нейтральные элементы по двум заданным операциям ни в каком поле никогда не совпадают.

Нейтральный элемент по аддитивной операции обозначают 0_P или просто 0, а по мультипликативной операции 1_P ( 1 ). Отметим, что "0" и "1" в общей теории полей -символы (можно придумать такое поле, где под 0 и 1 понимается совсем не числа 0 и 1).