В данном параграфе главной целью является изучение основ теории групп. Группа – это множество, на котором задана некоторая бинарная (зависящая от двух аргументов) алгебраическая операция, удовлетворяющая определенным условиям. Понятие бинарной алгебраической операции лежит, следовательно, в основе всего задания теории групп.
Каждому ученику средней школы, известно слово «операция» и, одним из первых его значений, приходящих в голову, являются понятия арифметических операций – сложения, умножения, вычитания или деления. Операции можно производить не только над числами, но и над другими объектами: дизъюнкции и конъюнкции высказываний, композиции преобразований и т.д.
Во всех названых примерах операций мы имеем дело с некоторым множеством А (множество чисел, высказываний, преобразований и т.д.). При выполнении операции по двум элементам этого множества находят третий элемент того же множества (по двум заданным числам находят их сумму, по двум заданным высказываниям их конъюнкцию и т.д.). При этом ответ, зависит от порядка этих элементов (например, при вычитании чисел).
Дадим определение бинарной алгебраической операции.
Определение 1. 1. 1. Пусть А – непустое множество, тогда всякое отображение φ: A × A → A называют бинарной алгебраической операцией, заданной на множестве А.
Другими словами, бинарной операцией на А является правило или закон, согласно которому каждой упорядоченной паре элементов a и b из А ставится в соответствие однозначно определенный элемент d из A (φ: (a, b)→ d). Следуя арифметической традиции, результат применения бинарной операции φ к элементам a и b обозначают a φ b и называют композицией элементов a и b. В каждом конкретном случае композиция элементов получает свое название – сумма, произведение и т.п.
Определение 1.1.2.Множество А вместе с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называется группоидом и обозначается .
Примеры: , , .
Нетрудно заметить, что вычитание на множестве N не является бинарной операцией. Действительно, по определению бинарной алгебраической операции должно выполнятся условие: ( (а, b)
N 2 ) (
d
N 2 ) d = a – b. Составим отрицание:
(а, b)
N 2 (
d є N) d ≠ a – b. При a = 2, b = 3 отрицание истинно, значит исходно утверждение – ложное. Следовательно, можно утверждать, что вычитание не является бинарной операцией на множестве Nи не является группоидом.
На конечных множествах, содержащих не слишком много элементов, бинарную алгебраическую операцию удобно задавать с помощью таблицы, которая называется таблицей Кэли (А. Кэли (1821-1895) английский алгебраист). Эта таблица для группоида , A = <a1, a2, …, an> заполняется следующим образом:
* | a1 | a 2 | … | an |
a 1 | a1 *a1 | a1 *a2 | … | a1 *an |
a 2 | a2 *a1 | a2 *a2 | … | a2 *an |
… | … | … | … | … |
an | an *a1 | an | … | an *an |
Например, следующая таблица задает операцию * на множестве A = <a , b>:
* | a | b |
a | b | a |
b | b | b |
Причем a * a = b* b= b* a= b и a* b= b. Поскольку результаты операции
принадлежат А, следовательно, — группоид.
Свойства операций. Полугруппы
Известны свойства арифметических действий – переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы сложения и умножения действительных чисел. Сформулируем эти свойства для произвольной бинарной алгебраической операции. Поскольку мы рассматриваем, в определении группоида, операции на определенном множестве, то, чтобы не вводить дополнительных определений, и группоидом будем называть в соответствии с названием свойства операции.
Определение 1. 1. 3.Группоид называется коммутативным (а сама операция коммутативной), если для любых двух элементов из A выполняется условие: ( a, b
А) а * b = b * а.
Определение 1. 1. 4.Группоид называется ассоциативным или полугруппой (а сама операция ассоциативной), если выполняется условие:
( а, b, с
А) а * (b * с) = (а* b) *с
Пусть — полугруппа. Легко доказать следующие свойства.
1. (Обобщённый ассоциативный закон). Для любого конечного семейства элементов a1, . aк из А произведение a1 ۰a2 ۰. ۰aк не зависит от расстановки скобок, т. е. от последовательности умножений по два сомножителя.
2. Естественным образом вводится понятие степени с натуральным показателем: а n = a ۰a ۰. ۰a (n сомножителей а) для любых а А и n
N, причём выполняются обычные свойства степеней:
a k+n = a k ۰ a n и (a k ) n = a kn (k, n N).
3. Если полугруппа коммутативна, то имеет место обобщённый коммутативный закон: произведение любого конечного числа элементов из А не зависит от порядка сомножителей.
Можно сформулировать аналогичные свойства для полугруппы .
Ещё из школы известны два правила: правило сложения любого числа с нулём и правило умножения любого числа на единицу. 0 и 1 — это нейтральные
элементы для операции сложения и умножения в R.
Определение 1. 1. 5.Элемент е А группоида называется нейтральным элементом, если для любого элемента a
A a* e= e* a= a.
Теорема 1. 1. 1.Каждый группоид содержит не более одного нейтрального элемента.
Доказательство. Предположим, что в группоиде А существуют два различных нейтральных элемента e1 и е2. Дважды воспользовавшись определением нейтрального элемента, получим: e1 = е1 ۰ e2 = е2 .
Поэтому, если в группоиде существует нейтральный элемент, то он единственный.
Чтобы установить, имеет ли группоид нейтральный элемент, надо выяснить, является ли группоид коммутативным, если да, то достаточно проверить одно условие: ( е
А) (
а
А) а * е = а. Если же нет, то надо проверять два условия: а * е = а и е * а = а.
Пример.На множестве R операция * задана правилом: a * b = a + b – 1. Покажем, что является группоидом, содержащим нейтральныйэлемент.
1. ( a, b
R) (
! (а + b — 1)
R), следовательно, * — бинарная операция;
2. ( a, b
R) a *b=a+b-1= b * а в силу коммутативности сложения в R;
3. Условие e
R
a
R a* е = а + е — 1= a выполняется при е — 1 = 0, т.к. нейтральным элементом на R относительно сложения является 0. Таким образом, е = 1 является нейтральным элементом относительно операции *.
Определение 1. 1. 6.Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом.
Равенства а + (— а) = 0 и а ۰ 1 = а напоминают нам о таких понятиях, как
противоположный и обратный элементы соответственно относительно операций сложения и умножения. Эти термины есть конкретизация такого математического понятия, как симметричный элемент. Правомерны следующие вопросы: каждый ли элемент множества имеет симметричный относительно операции в группоиде? При каких условиях элемент множества имеет симметричный?
Понятие симметричного элемента
Определение 1. 1. 7.Пусть группоид имеет нейтральный элемент е, тогда элемент a A называется симметризуемым, если для него существует а’
А такой, что а* а’ = а’ * а = е. Сам элемент а’ называется в этом случае симметричным для а.
Теорема 1. 2. Если в полугруппе элемент а симметризуем, то симметричный для него элемент а’ единственный.
Доказательство. Допустим, что для а А, существуют два симметричных элемента и и v. Тогда, учитывая, что дана полугруппа, получим:
Исторически сложились и существуют два языка для выражения различных фактов, касающихся бинарных алгебраических операций: мультипликативный и аддитивный.
Формы записи бинарной операции
Произвольная | Аддитивная | Мультипликативная |
* а * b называется композицией a’ —симметричный элемент для а е нейтральный элемент | + называется сложением а + b называется суммой -а -противоположный элемент для a нулевой элемент (нуль) | ۰ называется умножением а • b называется произведением а -1 — обратный элемент для а единичный элемент (единица) |
Далее в качестве основного языка выбран мультипликативный.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8828 — | 7537 —
или читать все.
78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Определение
Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией на множестве $ M $ называется отображение $ f:M imes M o M $ , которое каждой упорядоченной паре элементов $ (x,y)in M imes M $ , называемых опера́ндами, ставит в соответствие некоторый элемент того же множества $ xfy $ , называемый результа́том.
Замечание
Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами. Например, для бинарной операции $ cdot $ результат её применения к двум элементам $ x $ и $ y $ записывается в виде $ xcdot y $ .
Типы бинарных операций
Коммутативная операция
Бинарная операция $ cdot $ называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть
$ xcdot y = ycdot x,quad forall x,yin M. $
Ассоциативная операция
Бинарная операция $ cdot $ называется ассоциативной, если
$ (xcdot y)cdot z = xcdot (ycdot z), quad forall x,y,zin M. $
Для ассоциативной операции $ cdot $ результат вычисления $ x_1cdot x_2 cdot ldots cdot x_n $ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $ x_1cdot x_2 cdot ldots cdot x_n $ при $ n>2 $ однозначно не определено.
Альтернативная операция
Бинарная операция $ cdot $ называется альтернати́вной если
$ (xcdot x)cdot y=xcdot(xcdot y) $ и $ ycdot(xcdot x)=(ycdot x)cdot x,quad forall x,yin M $ .
Примеры
Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на множестве вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.
Записи
Мультипликативная запись
Если абстрактную бинарную операцию на $ M $ называют умноже́нием, то её результат для элементов $ x,yin M $ называют их произведе́нием и обозначают $ x cdot y $ или $ xy $ . В этом случае нейтральный элемент $ e in M $ , то есть элемент удовлетворяющий равенствам
$ x cdot e = e cdot x = x,quad forall x in M, $
называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.
Аддитивная запись
Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов $ x,yin M $ называют су́ммой и обозначают $ x+y $ . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом $ 0 $ , называют нулевы́м элеме́нтом и пишут
Содержание данного параграфа не относится напрямую к линейной алгебре, но в дальнейшем изложении рассмотренные здесь понятия будут часто использоваться .
Содержание
Бинарные операции [ править ]
Любому школьнику известны понятия операции (действия) сложения, вычитания, умножения и деления. Эти операции осуществляются над двумя числами, в результате чего получается какое-то третье число. Разные арифметические выражения являются сочетаниями этих операций (например: 3+2*3=9 — сочетание умножения (3*2) и сложения (3 складывается с результатом умножения 6). Обобщим теперь представление об операциях, осуществляемых над элементами какого-либо множества.
Рассмотрим произвольное множество M и зададим на этом множестве некую операцию (действие), которой для своего совершения нужны два элемента из этого множества, в результате чего однозначно получается какой-то третий элемент (возможно, иногда и равный одному из исходных элементов). Если данная операция осуществима над любыми двумя элементами x <displaystyle x> и y <displaystyle y>
множества M и в результате получается элемент z из того же самого множества, то такую операцию (действие) назовём бинарной, при этом x и y называют операндами, а z — результатом. Строгое матопределение смотри здесь.
- операция сложения или вычитания на множестве действительных или комплексных чисел — бинарные операции (любые два числа из этого множества можно сложить/вычесть, в результате чего получится число из того же самого множества)
- операция вычитания на множестве натуральных чисел не является бинарной (на множестве натуральных чисел из меньшего числа нельзя вычесть большее)
- операция умножения на множестве и натуральных, и целых, и действительных чисел — бинарная операция.
- операция деления на множестве действительных чисел не является бинарной (на 0 делить нельзя), но на множестве действительных чисел, из которого исключён 0, это бинарная операция.
Существуют операции, которым для своего осуществления требуется один элемент, например s i n x <displaystyle sinx> . Такие операции называются унарными (от лат. uno — один).
Группы [ править ]
Пусть на некоем множестве G задана какая-то операция ∙ <displaystyle ullet > . Обозначение ( G , ∙ ) <displaystyle (G,ullet )>
, где G — само множество, а ∙ <displaystyle ullet >
— некая заданная на нём операция.
Если от перестановки операндов результат не меняется, то такую группу называют коммутативной, или абелевой, т.е.:
5. ( ∀ x , y ∈ G ) x ∙ y = y ∙ x <displaystyle (forall x,yin G)quad xullet y=yullet x>
Отметим некоторые свойства групп:
- Нейтральный элемент в группе всегда единственный.
- Если x = y <displaystyle x=y>
, то x ∙ a = y ∙ a <displaystyle xullet a=yullet a>
для любого a <displaystyle a>
. Верно и обратное. (То есть в группах можно сокращать.)
- Уравнение a ∙ x = b <displaystyle aullet x=b>
всегда имеет единственный корень x = a ′ ∙ b <displaystyle x=a’ullet b>
Поля [ править ]
Пусть на некотором множестве P заданы какие-то две двуместные(т.е. для своего совершения каждой операции нужны два элемента из этого множества, в результате чего однозначно получается какой-то третий элемент) операции. Обозначение: ( P , ⊕ , ∙ ) <displaystyle (P,oplus ,ullet )> . Одну из них (пусть ⊕ <displaystyle oplus >
) назовём аддитивной, а другую( ∙ <displaystyle ullet >
)- мультипликативной. Если:
- P относительно ⊕ <displaystyle oplus >
-коммутативная группа,
- Операция ∙ <displaystyle ullet >
ассоциативна и коммутативна, имеет для себя нейтральный элемент.
- Все элементы множества P, кроме нейтрального элемента по аддитивной операции, обратимы по мультипликативной операции.
- Операция ⊕ <displaystyle oplus >
относительно ∙ <displaystyle ullet >
подчиняется распределительному закону (дистрибутивна): ( ∀ x , y , z ∈ P ) ( x ⊕ y ) ∙ z = ( x ∙ z ) ⊕ ( y ∙ z ) <displaystyle (forall x,y,zin P)quad (xoplus y)ullet z=(xullet z)oplus (yullet z)>
,
то такое множество с заданными на нём операциями называют полем. Строгое матопределение смотри здесь.
Отметим некоторые дополнительные свойства полей:
- Нейтральные элементы по двум заданным операциям ни в каком поле никогда не совпадают.
Нейтральный элемент по аддитивной операции обозначают 0P или просто 0, а по мультипликативной операции 1P ( 1 ). Отметим, что "0" и "1" в общей теории полей -символы (можно придумать такое поле, где под 0 и 1 понимается совсем не числа 0 и 1).